Распад бозона Хиггса
Рассмотрите распад бозона Хиггса на пару фермионов \(f\bar{f}\).
Квантовое состояние фермионов имеет вид \[|f\bar{f}\rangle = \int \frac{d\boldsymbol{p}_1}{(2\pi)^3\sqrt{2E_1}}\frac{d\boldsymbol{p}_2}{(2\pi)^3\sqrt{2E_2}}\widetilde{\psi}(\boldsymbol{p}_1,s_1;\boldsymbol{p}_2,s_2)|f(\boldsymbol{p}_1,s_1),\bar{f}(\boldsymbol{p}_2,s_2)\rangle,\] где \(\widetilde{\psi}\) — двухчастичная волновая функция фермионов в импульсном представлении, \(s_i\) — спиновые 4-векторы. В системе покоя фермиона \(s=(0,\boldsymbol{\xi})\).
Найдите \(\widetilde{\psi}\), используя матричный элемент: \[\langle f(\boldsymbol{p}_1,s_1),\bar{f}(\boldsymbol{p}_2,s_2)|S-1|H\rangle.\] ✓ Теперь можно вычислить волновую функцию в координатном представлении: \[\psi(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2) = \int \frac{d\boldsymbol{p}_1}{(2\pi)^3}\frac{d\boldsymbol{p}_2}{(2\pi)^3}\widetilde{\psi}(\boldsymbol{p}_1,s_1;\boldsymbol{p}_2,s_2)e^{+i\left(\boldsymbol{p}_1\cdot \boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{p}_2\cdot\boldsymbol{x}_2\right)}.\] Покажите, что \(\psi(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)\) зависит от разности координат \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2\) и вычислите волновую функцию \(\psi(\boldsymbol{r})\).
Разложите волновую функцию в ряд по сферическим гармоникам и исследуйте её поведение в зависимости от \(\boldsymbol{\xi}_1\cdot \hat{\boldsymbol{r}}\), \(\boldsymbol{\xi}_2\cdot \hat{\boldsymbol{r}}\), \(\boldsymbol{\xi}_1\cdot\boldsymbol{\xi}_2\). Дайте интерпретацию.