Осень · проект 1 из 20

Гармонический квантовый осциллятор

Тема: Квантование и нормальные моды

Цель: Изучить спектр энергий и динамику одномерной цепочки квантовых гармонических осцилляторов, включая анализ симметрий и визуализацию эволюции системы.

  1. Гамильтониан системы: Рассмотрите одномерную цепочку из \(N\) идентичных атомов с расстоянием между соседними атомами \(a\). Гамильтониан системы: \[\widehat{H} = \sum_{i=1}^N \frac{\widehat{P}_i^2}{2m} + \frac{k}{2} \sum_{i=1}^N (\widehat{X}_{i+1} - \widehat{X}_i)^2,\] где:

    • \(m\) — масса атома,

    • \(k = m\omega^2\) — жёсткость связи между соседними атомами,

    • \(\widehat{P}_i\) и \(\widehat{X}_i\) — операторы импульса и координаты (отклонения от положения равновесия) \(i\)-го атома.

    Объясните, почему взаимодействие учитывается только между соседними атомами.

  2. Переход к операторам нормальных мод: Определите операторы нормальных мод: \[\begin{aligned} \widehat{Q}_k &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=1}^N e^{ikan} \widehat{X}_n, \\ \widehat{\Pi}_k &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=1}^N e^{-ikan} \widehat{P}_n, \end{aligned}\] где \(k = \frac{2\pi\ell}{Na}\), \(\ell = 0, 1, \dots, N-1\).

    1. Вычислите коммутаторы \([\widehat{Q}_k, \widehat{\Pi}_{k'}]\), \([\widehat{Q}_k, \widehat{Q}_{k'}]\), и \([\widehat{\Pi}_k, \widehat{\Pi}_{k'}]\).

    2. Запишите гамильтониан \(\widehat{H}\) через \(\widehat{Q}_k\) и \(\widehat{\Pi}_k\).

  3. Циклические граничные условия: Предположите, что цепочка удовлетворяет циклическим граничным условиям: \[\widehat{X}_{N+1} = \widehat{X}_1.\]

    1. Найдите собственные частоты \(\omega_k\) системы, где \(k\) — волновой вектор.

    2. Покажите, что система эквивалентна набору независимых гармонических осцилляторов, каждый из которых соответствует своей моде \(k\).

  4. Динамика атомов:

    1. Вычислите волновую функцию \(\psi(t)\) системы.

    2. Постройте анимацию среднего смещения атомов \(\langle X_n\rangle(t)\) при различных начальных условиях:

      • Один атом смещён: \(X_i(0) \neq 0\), остальные \(X_n(0) = 0\).

      • Два атома смещены: \(X_i(0) \neq 0\), \(X_k(0) \neq 0\), остальные \(X_n(0) = 0\).

  5. Симметрии и сохраняющиеся заряды:

    1. Найдите все симметрии задачи (например, трансляционная симметрия, инвариантность относительно сдвигов времени).

    2. Используя теорему Нётер, вычислите сохраняющиеся заряды, связанные с каждой симметрией.

    3. Объясните физический смысл этих зарядов (например, энергия, импульс, фазовая корреляция мод).

Осень: все проекты, PDF

← Все проекты