Соберите матрицу PMNS
Нажимайте «Следующий шаг». Сначала используйте приближение \(U_{e3}=0\): солнечный дефицит и атмосферное исчезновение зададут первые клетки. Унитарность заполнит остальные. Затем возьмём квадратные корни и выберем знаки из ортогональности столбцов. Последний шаг покажет реакторную поправку и современный пример матрицы.
Начинаем с пустой матрицы
Строки отвечают флэйворам рождения и регистрации; столбцы — массовым состояниям. Начнём с измеряемых долей \(|U_{\alpha i}|^2\).
Пока оставим \(|U_{e3}|^2=0\). Так виден каркас задачи; реакторный результат внесём в конце.
Солнечные нейтрино
Для высокоэнергетических солнечных нейтрино \(P_{ee}\simeq1/3\). В адиабатическом приближении и при \(U_{e3}=0\):
\(P_{ee}\simeq |U_{e2}|^2\simeq\frac13.\)
Почему Солнце выделяет второй массовый столбец, будет разобрано в лекции об эффекте MSW.
Электронная строка
Её нормировка заполняет оставшуюся клетку:
\( |U_{e1}|^2+|U_{e2}|^2+|U_{e3}|^2=1 \quad\Longrightarrow\quad |U_{e1}|^2=\frac23. \)
Первая строка теперь равна \((2/3,\,1/3,\,0)\).
Атмосферные и ускорительные нейтрино
Почти максимальное исчезновение \(\nu_\mu\) показывает, что мюонный флэйвор примерно поровну распределён относительно третьей моды:
\( 4|U_{\mu3}|^2(1-|U_{\mu3}|^2)\simeq1 \quad\Longrightarrow\quad |U_{\mu3}|^2\simeq\frac12. \)
Здесь удерживаем ведущий атмосферный масштаб и пока полагаем \(U_{e3}=0\).
Третий столбец
Три доли одного массового состояния суммируются в единицу:
\( |U_{e3}|^2+|U_{\mu3}|^2+|U_{\tau3}|^2=1 \quad\Longrightarrow\quad |U_{\tau3}|^2=\frac12. \)
В этом приближении \(\nu_3\) поровну связан с \(\nu_\mu\) и \(\nu_\tau\).
Второй столбец
Из столбца 3 уже знаем \(|U_{\mu3}|=|U_{\tau3}|\). Его ортогональность столбцу 2 даёт
\( U_{\mu2}^*U_{\mu3}+U_{\tau2}^*U_{\tau3}=0. \)
Следовательно, \(|U_{\mu2}|^2=|U_{\tau2}|^2\). Нормируем второй столбец:
\( \frac13+|U_{\mu2}|^2+|U_{\tau2}|^2=1. \)
\( |U_{\mu2}|^2=|U_{\tau2}|^2=\frac13. \)
Осталась первая колонка
Нормируем мюонную и тау-строки:
\( |U_{\mu1}|^2=1-\frac13-\frac12=\frac16, \qquad |U_{\tau1}|^2=\frac16. \)
Все строки и столбцы матрицы квадратов теперь дают единицу.
От долей к модулям амплитуд
Каждая клетка справа пока содержит вероятность \(|U_{\alpha i}|^2\). Извлекаем корень:
\( |U_{\alpha i}|=\sqrt{|U_{\alpha i}|^2}, \qquad |U_{e1}|=\sqrt{\frac23},\quad |U_{\mu1}|=\sqrt{\frac16}. \)
Матрица неотрицательных модулей ещё не есть \(U\): её столбцы не ортогональны. Не хватает относительных знаков.
Знаки во втором и третьем столбцах
Обозначим столбцы через \(c_1,c_2,c_3\). Для вещественного представителя выберем положительными \(U_{e2},U_{\mu2},U_{\mu3},U_{\tau3}\). Из ортогональности столбцов 2 и 3 следует
\( c_2\!\cdot c_3= U_{\mu2}U_{\mu3}+U_{\tau2}U_{\tau3}=0. \)
\( U_{\tau2}=-U_{\mu2}=-\sqrt{\frac13}. \)
Первый столбец пока показан по модулю: его знаки найдём следующим условием.
Знаки первого столбца
Выберем \(U_{e1}>0\). Ортогональность с третьим столбцом даёт \(U_{\mu1}=-U_{\tau1}\). Со вторым:
\( c_1\!\cdot c_2= \sqrt{\frac13} (U_{e1}+U_{\mu1}-U_{\tau1})=0. \)
\( U_{\mu1}=-\sqrt{\frac16},\qquad U_{\tau1}=+\sqrt{\frac16}. \)
Получили \(U_0^{\mathsf T}U_0=I\): нормы столбцов равны единице, попарные скалярные произведения — нулю.
Знаки этого представителя зависят от выбора фаз состояний. При \(U_{e3}=0\) фаза \(\delta_{\rm CP}\) в осцилляциях не наблюдается.
Реакторная поправка
Измерение на ближнем и дальнем детекторах даёт \(|U_{e3}|^2=\sin^2\theta_{13}\simeq0.0225\). В матрице справа — пример \(|U|^2\), рассчитанный по лучшей точке NuFIT 6.1.
Каналы появления и античастицы дают информацию о \(\delta_{\rm CP}\). Одни квадраты модулей не определяют все комплексные фазы \(U\).
Числа справа рассчитаны в унитарной модели. Для независимого теста унитарности это условие снимают при анализе данных.
| \(\nu_1\) | \(\nu_2\) | \(\nu_3\) | |
|---|---|---|---|
| \(e\) | \(\tfrac23\)\(\sqrt{\tfrac23}\)\(\pm\sqrt{\tfrac23}\)\(+\sqrt{\tfrac23}\)\(0.676\) | \(\tfrac13\)\(\sqrt{\tfrac13}\)\(+\sqrt{\tfrac13}\)\(+\sqrt{\tfrac13}\)\(0.302\) | \(0\)\(0\)\(0\)\(0\)\(0.022\) |
| \(\mu\) | \(\tfrac16\)\(\sqrt{\tfrac16}\)\(\pm\sqrt{\tfrac16}\)\(-\sqrt{\tfrac16}\)\(0.112\) | \(\tfrac13\)\(\sqrt{\tfrac13}\)\(+\sqrt{\tfrac13}\)\(+\sqrt{\tfrac13}\)\(0.428\) | \(\tfrac12\)\(\sqrt{\tfrac12}\)\(+\sqrt{\tfrac12}\)\(+\sqrt{\tfrac12}\)\(0.459\) |
| \(\tau\) | \(\tfrac16\)\(\sqrt{\tfrac16}\)\(\pm\sqrt{\tfrac16}\)\(+\sqrt{\tfrac16}\)\(0.212\) | \(\tfrac13\)\(\sqrt{\tfrac13}\)\(-\sqrt{\tfrac13}\)\(-\sqrt{\tfrac13}\)\(0.270\) | \(\tfrac12\)\(\sqrt{\tfrac12}\)\(+\sqrt{\tfrac12}\)\(+\sqrt{\tfrac12}\)\(0.518\) |
На шаге выбора знаков построено вещественное приближение. Атмосферный канал ограничивает \(|U_{\mu3}|^2\), а солнечный при высокой энергии — \(|U_{e2}|^2\) при использованных допущениях. Числа последнего шага вычислены по лучшей точке NuFIT 6.1 при нормальном порядке масс и наборе IC24 + SK-atm.