Боковые частоты CRES

Как периодическое движение создаёт частотные линии одного электрона

Меняйте безразмерный индекс фазовой модуляции \(h=\Delta f/f_z\). Одна гармоника превращается в набор линий, разделённых частотой продольного движения.

viewof cresModulationIndex = Inputs.range([0, 4], {
  value: 1.2,
  step: 0.1,
  label: html`
    <span class="spectrum-slider-label">
      ${tex`h=\Delta f/f_z`}
    </span>
  `
})

cresAxialFrequency = 25
cresObservationTime = 80
cresSpectrumOrders = Array.from({length: 29}, (_, i) => i - 14)

cresFactorial = n => {
  let value = 1
  for (let k = 2; k <= n; ++k) value *= k
  return value
}

cresBesselPositive = (n, x) => {
  let value = 0
  for (let k = 0; k < 24; ++k) {
    value += ((k % 2 === 0) ? 1 : -1)
      * Math.pow(x / 2, 2 * k + n)
      / (cresFactorial(k) * cresFactorial(k + n))
  }
  return value
}

cresBessel = (n, x) => {
  const order = Math.abs(n)
  const value = cresBesselPositive(order, x)
  return n < 0 && order % 2 === 1 ? -value : value
}

cresLineWeights = cresSpectrumOrders.map(order => ({
  order,
  frequency: order * cresAxialFrequency,
  amplitude: cresBessel(order, cresModulationIndex),
  power: Math.pow(cresBessel(order, cresModulationIndex), 2)
}))

cresSinc = value => Math.abs(value) < 1e-12
  ? 1
  : Math.sin(value) / value

cresFrequencyGrid = Array.from({length: 1201}, (_, i) => -150 + i / 4)
cresSpectrum = cresFrequencyGrid.map(frequency => ({
  frequency,
  power: (() => {
    let real = 0
    let imaginary = 0
    for (const line of cresLineWeights) {
      const argument = Math.PI
        * (frequency - line.frequency)
        * 1000
        * cresObservationTime
        * 1e-6
      const amplitude = line.amplitude * cresSinc(argument)
      real += amplitude * Math.cos(argument)
      imaginary -= amplitude * Math.sin(argument)
    }
    return real * real + imaginary * imaginary
  })()
}))

cresSpectrumMaximum = Math.max(...cresSpectrum.map(point => point.power))
cresNormalizedSpectrum = cresSpectrum.map(point => ({
  frequency: point.frequency,
  power: point.power / cresSpectrumMaximum
}))

cresNormalizedLines = cresLineWeights.map(line => ({
  frequency: line.frequency,
  power: line.power / Math.max(...cresLineWeights.map(item => item.power))
}))

cresSpectrumPlot = Plot.plot({
  width: 1040,
  height: 260,
  marginTop: 6,
  marginRight: 25,
  marginBottom: 30,
  marginLeft: 72,
  style: {
    background: "#ffffff",
    color: "#111111",
    fontSize: "18px"
  },
  x: {
    axis: "bottom",
    label: null,
    domain: [-150, 150],
    ticks: 7,
    grid: true
  },
  y: {
    axis: "left",
    label: null,
    domain: [0, 1.05],
    ticks: 3,
    grid: true
  },
  marks: [
    Plot.line(cresNormalizedSpectrum, {
      x: "frequency",
      y: "power",
      stroke: "#4ea1ff",
      strokeWidth: 3
    }),
    Plot.ruleX(cresNormalizedLines.filter(line => Math.abs(line.frequency) <= 150), {
      x: "frequency",
      y1: 0,
      y2: "power",
      stroke: "#ffb347",
      strokeWidth: 3
    }),
    Plot.frame({stroke: "#111111"})
  ]
})

html`
<div class="spectrum-panel">
  <div class="spectrum-plot-row">
    <div class="spectrum-y-label">${tex`(dP/df)_{\rm norm}`}</div>
    <div class="spectrum-plot-host">${cresSpectrumPlot}</div>
  </div>
  <div class="spectrum-x-label">${tex`f-f_c\;(\text{кГц})`}</div>
  <div class="spectrum-summary">
    <span>${tex`f_z=${cresAxialFrequency}\ \text{кГц}`}</span>
    <span>${tex`T_{\rm obs}=${cresObservationTime}\ \text{мкс}`}</span>
    <span>${tex`\Delta f_{\rm FWHM}\simeq0.886/T_{\rm obs}\simeq${(886 / cresObservationTime).toFixed(1)}\ \text{кГц}`}</span>
  </div>
</div>`

Показана модель одной гармоники фазовой модуляции с фиксированной начальной фазой. Оранжевые линии обозначают относительные мощности бесконечно долгого сигнала; синяя кривая — квадрат модуля суммы амплитуд для прямоугольного окна 80 мкс. Высоты нормированы на максимум каждой кривой.

Объяснение в лекции 08 · Исходный код