χ²-интервалы, систематики и практический рецепт МНК

Статистический анализ данных

Дмитрий В. Наумов (ОИЯИ)

Общий случай

\(\chi^2\) с ковариационной матрицей

В гауссовом приближении, в общем случае, необходимо использовать ковариационную матрицу: \[ V_y=\operatorname{Cov}(\mathbf y). \]
Тогда \[ \boxed{ \chi^2(\boldsymbol\theta) = (\mathbf y-\boldsymbol\lambda(\boldsymbol\theta))^\mathsf T V_y^{-1} (\mathbf y-\boldsymbol\lambda(\boldsymbol\theta)). } \]
\(\mathbf y= (y_1,\dots y_N)\) - наблюдаемые,
\(\boldsymbol\lambda= (\lambda_1,\dots \lambda_N)\). \(\lambda_i=\mathbb{E}[Y_i]\) - мат. ожидание
\(\boldsymbol\theta = (\theta_1,\dots \theta_p)\) - параметры модели.
Задача: оценка \(\widehat{\boldsymbol\theta}\) и ковариационная матрица параметров \(V_\theta\)

Оценки

Оценка \(\widehat{\boldsymbol\theta}\) есть решение уравнений: \[ \frac{\partial \chi^2(\boldsymbol\theta)}{\partial\boldsymbol\theta} = 0. \]
Около минимума \[ \chi^2(\boldsymbol\theta)\approx\chi^2_{\min}+ (\boldsymbol\theta-\widehat{\boldsymbol\theta})^\mathsf T V_\theta^{-1} (\boldsymbol\theta-\widehat{\boldsymbol\theta}). \]
Значит матрица при этой квадратичной форме есть \(V_\theta^{-1}\).
Ее элементы находятся так: \[ \left(V_\theta^{-1}\right)_{ij} = \frac{\partial^2\chi^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}. \]
Чтобы найти ковариационную матрицу \(V_\theta\), нужно обратить \(V_\theta^{-1}\).

Линейная модель

Для линейной модели \[ \boldsymbol\lambda=H\boldsymbol\theta, \] где \(H\) - матрица \(N\times p\).
Задача решается точно: \[ \boxed{ \widehat{\boldsymbol\theta} =(H^\mathsf T V_y^{-1}H)^{-1} H^\mathsf T V_y^{-1}\mathbf y} \] и \[ \boxed{ V_\theta=(H^\mathsf T V_y^{-1}H)^{-1}. } \]

Интервалы из формы \(\chi^2\)

Для одного параметра около минимума \[ \chi^2(\theta) \approx \chi^2_{\min} + \frac{(\theta-\widehat{\theta})^2}{\sigma_\theta^2}. \]

Поэтому границы одной стандартной ошибки задаются условием \[ \boxed{ \chi^2(\widehat{\theta}\pm\sigma_\theta) - \chi^2_{\min}=1. } \]

Здесь \(\Delta\chi^2=1\) — локальное гауссово правило для одного параметра. Формальную связь с доверительными интервалами и распределением \(\chi^2\) обсудим позже.

chiOneSigma = 1
chiOneMin = 1
chiOneCut = chiOneMin + 1
chiOneData = Array.from({length: 241}, (_, i) => {
  const delta = -1.5 + 3.0 * i / 240;
  return {
    delta,
    chi2: chiOneMin + (delta / chiOneSigma) ** 2
  };
})
chiOneMarks = [
  {delta: -chiOneSigma, chi2: chiOneCut},
  {delta: 0, chi2: chiOneMin},
  {delta: chiOneSigma, chi2: chiOneCut}
]
chiOneCutLine = [
  {delta: -chiOneSigma, chi2: chiOneCut},
  {delta: chiOneSigma, chi2: chiOneCut}
]

chiOnePlot = Plot.plot({
  width: 980,
  height: 460,
  marginLeft: 70,
  marginBottom: 54,
  marginTop: 36,
  x: {label: "δθ", domain: [-1.5, 1.5], grid: true},
  y: {label: "χ²(θ)", domain: [0.9, 3.5], grid: true},
  marks: [
    Plot.line(chiOneData, {x: "delta", y: "chi2", stroke: "#4ea1ff", strokeWidth: 4}),
    Plot.line(chiOneCutLine, {x: "delta", y: "chi2", stroke: "#ff5a5f", strokeWidth: 3}),
    Plot.ruleY([chiOneMin], {stroke: "#777", strokeDasharray: "5,5"}),
    Plot.ruleX([-chiOneSigma, chiOneSigma], {
      y1: chiOneMin,
      y2: chiOneCut,
      stroke: "#ff5a5f",
      strokeWidth: 3,
      strokeDasharray: "7,5"
    }),
    Plot.dot(chiOneMarks, {x: "delta", y: "chi2", r: 6, fill: d => d.delta === 0 ? "#f2f2f2" : "#ff5a5f", stroke: "#111"})
  ]
})

html`
<div class="clt-panel">
  <div style="text-align:center; font-size:1.35rem; font-weight:700; margin-bottom:0.35rem;">
    χ²(δθ = ±σ<sub>θ</sub>) − χ²<sub>min</sub> = 1
  </div>
  ${chiOnePlot}
  <div class="clt-summary">
    <span>минимум: δθ = 0</span>
    <span>красная отсечка: χ²<sub>min</sub> + 1</span>
    <span>пересечения дают ±σ<sub>θ</sub></span>
  </div>
</div>
`

Несколько параметров

Формула
Гауссов пример
Негауссов пример

Если \(\chi^2(\boldsymbol\theta)\) хорошо аппроксимируется квадратичной функцией параметров, то \[ \chi^2(\boldsymbol\theta) \approx \chi^2_{\min} + (\boldsymbol\theta-\widehat{\boldsymbol\theta})^\mathsf T V_\theta^{-1} (\boldsymbol\theta-\widehat{\boldsymbol\theta}). \]

Уравнение \[ \Delta\chi^2 = \chi^2-\chi^2_{\min} =c \] задаёт эллипсоиды в пространстве параметров.

Матрица \(V_\theta\) задаёт размеры и наклон этих эллипсоидов.
Число \(c\) зависит от того, какую область мы строим. Это будет отдельная тема в лекции Качество согласия и статистическая значимость.
Важно: всё это локальная гауссова картина около минимума.

Систематические неопределённости

Словарик

Термин	Смысл	Пример
Параметр интереса	То, что мы хотим измерить	масса, сечение, \(\theta_{13}\), число сигнальных событий
Мешающий (nuisance) параметр	Параметр, который влияет на предсказание, но сам не является целью измерения	фон, эффективность, масштаб энергии
Систематика	Физический, инструментальный или модельный источник неопределённости	калибровка энергии, эффективность отбора, форма фона, нормировка потока
Систематическая неопределённость	Вклад такой систематики в неопределённость параметра интереса	вклад неопределенности энергетической шкалы в ошибку массы

Ограниченные и свободные параметры

Тип параметра	Что это значит	Как появляется в правдоподобии
Ограниченный параметр	О нём есть внешняя информация	есть множитель \(L_\mathrm{aux}(\eta)\)
Свободный параметр	Внешнего ограничения нет	определяется только основными данными
Ограниченный мешающий параметр	Типичная реализация систематики	калибровка, эффективность, нормировка фона
Свободный мешающий параметр	Параметр модели, который подгоняется по данным	свободная нормировка фона, неизвестный наклон спектра \(L(\mu,\eta)=L_\mathrm{main}(x\|\mu,\eta)\,L_\mathrm{aux}(a\|\eta)\)

Здесь \(\mu\) — параметр интереса, \(\eta\) — мешающие параметры.

Модель с мешающими параметрами

Пусть модель зависит от параметров интереса \(\boldsymbol\theta\) и мешающих параметров \(\boldsymbol\eta\): \[ \boldsymbol\lambda = \boldsymbol\lambda(\boldsymbol\theta,\boldsymbol\eta). \]

Обычно про \(\boldsymbol\eta\) уже что-то известно: \[ \boldsymbol\eta\approx\boldsymbol\eta_0, \qquad \operatorname{Cov}(\boldsymbol\eta)=V_\eta. \]

Тогда естественная функция для минимизации: \[ \boxed{ \chi^2(\boldsymbol\theta,\boldsymbol\eta) = (\mathbf y-\boldsymbol\lambda(\boldsymbol\theta,\boldsymbol\eta))^\mathsf T V_y^{-1} (\mathbf y-\boldsymbol\lambda(\boldsymbol\theta,\boldsymbol\eta)) + (\boldsymbol\eta-\boldsymbol\eta_0)^\mathsf T V_\eta^{-1} (\boldsymbol\eta-\boldsymbol\eta_0). } \]

Штраф

Второе слагаемое называется штрафом (penalty): \[ (\boldsymbol\eta-\boldsymbol\eta_0)^\mathsf T V_\eta^{-1} (\boldsymbol\eta-\boldsymbol\eta_0). \]
Данные могут предпочесть сдвинуть систематический параметр.
Но большой сдвиг должен быть оплачен штрафом.
Если \(V_\eta\) мала, параметр жёстко привязан к \(\eta_0\).
Если \(V_\eta\) велика, параметр почти свободен.
Лучшие значения находятся из совместной минимизации: \[ \frac{\partial\chi^2}{\partial\boldsymbol\theta}=0, \qquad \frac{\partial\chi^2}{\partial\boldsymbol\eta}=0. \]

Профилирование

Часто нас интересует только \(\boldsymbol\theta\), а \(\boldsymbol\eta\) не сильно интересует.
В частотном подходе мы профилируем: \[ \boxed{ \chi^2_{\mathrm p}(\boldsymbol\theta) = \min_{\boldsymbol\eta} \chi^2(\boldsymbol\theta,\boldsymbol\eta) = \chi^2(\boldsymbol\theta,\widehat{\widehat{\boldsymbol\eta}}(\boldsymbol\theta)). } \]
Двойная шляпа означает: \(\boldsymbol\eta\) минимизируется при фиксированном \(\boldsymbol\theta\).
Профилирование отвечает на вопрос: насколько хорошо можно описать данные при данном \(\boldsymbol\theta\), если все остальные параметры выбрать наилучшим образом.

Линейная систематика

Если зависимость от \(\boldsymbol\eta\) линейна около \(\boldsymbol\eta_0\), то \[ \boldsymbol\lambda(\boldsymbol\theta,\boldsymbol\eta) \approx \boldsymbol\lambda_0(\boldsymbol\theta) + H(\boldsymbol\theta)(\boldsymbol\eta-\boldsymbol\eta_0), \] где \[ H_{ij} = \left. \frac{\partial\lambda_i}{\partial\eta_j} \right|_{\boldsymbol\eta=\boldsymbol\eta_0}. \]

Обозначим остаток при номинальных систематиках: \[ \mathbf r(\boldsymbol\theta) = \mathbf y-\boldsymbol\lambda_0(\boldsymbol\theta). \]

Аналитическое профилирование

Для фиксированного \(\boldsymbol\theta\) минимум по \[ \boldsymbol\delta=\boldsymbol\eta-\boldsymbol\eta_0 \] находится аналитически: \[ \boxed{ \widehat{\widehat{\boldsymbol\delta}}(\boldsymbol\theta) = \left(V_\eta^{-1}+H^\mathsf T V_y^{-1}H\right)^{-1} H^\mathsf T V_y^{-1}\mathbf r(\boldsymbol\theta). } \]

Это полезно практически: часть параметров можно исключить без численного поиска по ним.

Эквивалентная ковариационная матрица

После подстановки профилированного \(\boldsymbol\eta\) получается эквивалентная запись: \[ \boxed{ \chi^2_{\mathrm p}(\boldsymbol\theta) = \mathbf r(\boldsymbol\theta)^\mathsf T V^{-1} \mathbf r(\boldsymbol\theta), \qquad V=V_y+HV_\eta H^\mathsf T. } \]

Систематика добавляет к статистической ковариации матрицу \[ \boxed{ V_{\mathrm{sys}}=HV_\eta H^\mathsf T.} \]

Пример: нормировка с неопределённостью

Пусть несколько точек измеряют одну величину \(\mu\).

Индивидуальные ошибки точек — абсолютные \(x_i \pm s_i\).

Общий масштаб эксперимента известен с относительной ошибкой \(f_N = 0.10\).

Модель: \[ \lambda_i(\mu,\alpha)=(1+\alpha)\mu, \qquad \alpha = 0 \pm f_N . \]

Здесь \(\alpha\) — один общий мешающий параметр нормировки.

Если \(\alpha\) сдвигается, все предсказания \(\lambda_i\) сдвигаются согласованно.
Производная по нормировке: \[ H_{i1} = \left. \frac{\partial \lambda_i}{\partial \alpha} \right|_{\alpha=0} = \mu . \]
Ковариация мешающего параметра: \[ V_\alpha=f_N^2. \]

Ковариация от нормировки

Поэтому нормировочная часть ковариации: \[ \boxed{ (V_{\mathrm{norm}})_{ij} = (HV_\alpha H^{\mathsf T})_{ij} = f_N^2\mu^2 . } \]

Для двух точек: \[ V_{\mathrm{norm}}(\mu) = f_N^2\mu^2 \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}. \]

Парадокс Д’Агостини

Рассмотрим две оценки одной и той же величины: \[ x_1=8.0,\qquad x_2=8.5. \]
Для каждой точки указана индивидуальная относительная ошибка \(2\%\), а кроме того есть общая нормировочная неопределённость \(10\%\).
Индивидуальные ошибки: \(s_1=0.16,\ s_2=0.17\).

Это пример Д’Агостини, связанный с Peelle’s Pertinent Puzzle: мультипликативная систематика не является обычным аддитивным шумом каждой точки.

Данные и статистическая ковариация

Пусть \[ x_1=8.0,\qquad x_2=8.5, \]
а индивидуальные ошибки равны \(2\%\): \[ s_1=0.02\,x_1=0.16, \qquad s_2=0.02\,x_2=0.17. \]
Статистическая часть ковариации: \[ V_\mathrm{stat} = \begin{pmatrix} s_1^2&0\\ 0&s_2^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.0256&0\\ 0&0.0289 \end{pmatrix}. \]

Наивная нормировочная ковариация

Наивная нормировочная часть: \[ V_\mathrm{norm}^\mathrm{bad} = f_N^2 \begin{pmatrix} x_1x_1&x_1x_2\\ x_2x_1&x_2x_2 \end{pmatrix}. \]
Для \(f_N=0.10\): \[ V_\mathrm{norm}^\mathrm{bad} = 0.10^2 \begin{pmatrix} 8.0^2&8.0\cdot 8.5\\ 8.5\cdot 8.0&8.5^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6400&0.6800\\ 0.6800&0.7225 \end{pmatrix}. \]
Поэтому \[ \boxed{ V_{\mathrm{bad}} = V_{\mathrm{stat}}+V_{\mathrm{norm}}^{\mathrm{bad}} = \begin{pmatrix} 0.6656&0.6800\\ 0.6800&0.7514 \end{pmatrix}. } \]

Фит с этой матрицей

\[ V_{\mathrm{bad}} = \begin{pmatrix} 0.6656&0.6800\\ 0.6800&0.7514 \end{pmatrix}. \]

Ищем минимум \[ \chi^2(\mu) = (\mathbf x-\mu\mathbf 1)^\mathsf T V_{\mathrm{bad}}^{-1} (\mathbf x-\mu\mathbf 1). \]

Обозначим \[ W_{\mathrm{bad}} = V_{\mathrm{bad}}^{-1} = \begin{pmatrix} 19.9142&-18.0219\\ -18.0219&17.6403 \end{pmatrix}. \]

Парадоксальный результат

Для постоянной модели \(\lambda_i=\mu\): \[ \chi^2(\mu) = \mathbf x^\mathsf T W\mathbf x -2\mu\,\mathbf 1^\mathsf T W\mathbf x +\mu^2\,\mathbf 1^\mathsf T W\mathbf 1. \]

Условие минимума даёт \[ \frac{\partial\chi^2}{\partial\mu} = -2\mathbf 1^\mathsf T W\mathbf x +2\widehat\mu\,\mathbf 1^\mathsf T W\mathbf 1 =0, \] откуда \[ \boxed{ \widehat\mu = \frac{\mathbf 1^\mathsf T W\mathbf x}{\mathbf 1^\mathsf T W\mathbf 1} = \mathbf w^\mathsf T\mathbf x, \qquad \mathbf w = \frac{W\mathbf 1}{\mathbf 1^\mathsf T W\mathbf 1}. } \]

Для \(W=W_{\mathrm{bad}}\): \[ \mathbf w_{\mathrm{bad}} \approx \begin{pmatrix} 1.253\\ -0.253 \end{pmatrix}, \qquad \boxed{ \widehat\mu_{\mathrm{bad}}\approx 7.87\pm0.81. } \]

Оценка ниже обеих измеренных точек — не арифметическая ошибка, а сигнал, что модель ковариации неверно описывает нормировку.

Сравнение результатов

pppPoints = [
  {x: 7.8737, y: 0, label: "наивная ковариация", kind: "bad"},
  {x: 8.0, y: 1, label: "x₁ = 8.0", kind: "data"},
  {x: 8.2349, y: 2, label: "правильная модель", kind: "good"},
  {x: 8.5, y: 1, label: "x₂ = 8.5", kind: "data"}
]

pppPlot = Plot.plot({
  width: 920,
  height: 190,
  marginLeft: 80,
  marginRight: 70,
  marginBottom: 45,
  marginTop: 18,
  x: {label: "значение μ", domain: [7.75, 8.62], grid: true},
  y: {axis: null, domain: [-0.7, 2.55]},
  marks: [
    Plot.ruleY([1], {stroke: "#777", strokeDasharray: "6,5"}),
    Plot.dot(pppPoints, {
      x: "x",
      y: "y",
      r: 8,
      fill: d => d.kind === "bad" ? "#ff5a5f" : d.kind === "good" ? "#2dd881" : "#4ea1ff",
      stroke: "#111",
      strokeWidth: 1.2
    }),
    Plot.text(pppPoints, {
      x: "x",
      y: "y",
      text: "label",
      fill: "#f2f2f2",
      dy: d => d.kind === "data" ? -18 : 18,
      fontSize: 16
    })
  ]
})

html`${pppPlot}`

Что пошло не так

Общая нормировка — это неопределённый масштаб предсказания, а не добавочный шум каждой уже измеренной точки.

В записи \(f_N^2 x_i x_j\) большая флуктуация автоматически получает большую абсолютную систематическую ошибку.
При сильной корреляции это может дать отрицательный вес большей точке.
Минимизация формально корректна для записанной матрицы, но сама матрица построена не из той вероятностной модели.
Правильный вопрос: как нормировочная систематика меняет модельное предсказание?

Правильная ковариационная матрица

Из модели нормировки следует \[ \boxed{ V_{ij}(\mu) = s_i^2\delta_{ij} + f_N^2\mu^2. } \]

Если взять самосогласованное значение \[ \widehat\mu = \frac{\sum_i x_i/s_i^2}{\sum_i1/s_i^2} \approx 8.235, \] то \[ V_{\mathrm{corr}} = \begin{pmatrix} 0.7037&0.6781\\ 0.6781&0.7070 \end{pmatrix}. \]

Решение с правильной ковариацией

Используем тот же вывод, но теперь \(W=V_{\mathrm{corr}}^{-1}\): \[ \widehat\mu = \frac{\mathbf 1^\mathsf T W\mathbf x}{\mathbf 1^\mathsf T W\mathbf 1}, \qquad \sigma_\mu^2 = \frac{1}{\mathbf 1^\mathsf T W\mathbf 1}. \]

Численно: \[ \mathbf w_{\mathrm{corr}} \approx \begin{pmatrix} 0.530\\ 0.470 \end{pmatrix}, \qquad \boxed{ \widehat\mu_{\mathrm{corr}} \approx 8.235\pm0.832. } \]

Общая нормировка увеличила ошибку, но не сместила центральное значение ниже обеих точек. Отрицательных весов больше нет.

То же через штрафной член

Запишем нормировку как ограниченный мешающий параметр: \[ x_i=(1+\alpha)\mu+\varepsilon_i, \qquad \varepsilon_i\sim\mathrm N(0,s_i^2), \qquad \alpha=0\pm f_N. \]

Тогда минимизируем \[ \boxed{ \chi^2(\mu,\alpha) = \sum_i \frac{\left[x_i-(1+\alpha)\mu\right]^2}{s_i^2} + \frac{\alpha^2}{f_N^2}. } \]

Обозначим \[ R(\mu,\alpha) = \sum_i \frac{x_i-(1+\alpha)\mu}{s_i^2}. \]

Условия минимума: \[ \frac{\partial\chi^2}{\partial\mu} = -2(1+\alpha)R=0, \qquad \frac{\partial\chi^2}{\partial\alpha} = -2\mu R+\frac{2\alpha}{f_N^2}=0. \]

То же через штрафной член

Отсюда \[ \widehat\alpha=0, \qquad \widehat\mu = \frac{\sum_i x_i/s_i^2}{\sum_i1/s_i^2} \approx 8.235. \]

Ошибка из штрафного члена

Матрица при квадратичной форме \(\Delta\chi^2\) по \((\mu,\alpha)\) даёт ковариационную матрицу \[ \operatorname{Cov}(\widehat\mu,\widehat\alpha) \approx \begin{pmatrix} 0.6917&-0.0823\\ -0.0823&0.0100 \end{pmatrix}. \]

Поэтому \[ \boxed{ \widehat\mu_{\text{штраф}} \approx 8.235\pm\sqrt{0.6917} = 8.235\pm0.832. } \]

То же самое можно записать как сумму вкладов: \[ \begin{aligned} \sigma_\mu^2 &\approx \left(\sum_i\frac1{s_i^2}\right)^{-1} + (f_N\widehat\mu)^2\\ &\approx 0.0136+0.6781 =0.6917. \end{aligned} \]

Первый член — статистика точек, второй — общая нормировка.

Ковариационная матрица и штрафной член дают один и тот же ответ, если ковариация построена из модели. Парадокс появляется, когда вместо модели подставляют флуктуировавшие данные.

Распространение ошибок

Функция от подогнанных параметров

Пусть мы нашли \[ \widehat{\boldsymbol\theta}, \qquad V_\theta=\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta}), \] а теперь хотим получить величину \[ \boldsymbol\alpha=\boldsymbol\alpha(\boldsymbol\theta). \]

Оценка получается подстановкой: \[ \widehat{\boldsymbol\alpha} = \boldsymbol\alpha(\widehat{\boldsymbol\theta}). \]

Ковариация в линейном приближении: \[ \boxed{ V_\alpha = A V_\theta A^\mathsf T, \qquad A_{ij} = \left. \frac{\partial\alpha_i}{\partial\theta_j} \right|_{\widehat{\boldsymbol\theta}}. } \]

Что важно в этой формуле

Производные показывают, как чувствительна новая величина к каждому параметру.
Внедиагональные элементы \(V_\theta\) важны: корреляции параметров тоже распространяются.
Формула локальная: она основана на линейном разложении около минимума.
Если функция сильно нелинейна или есть границы, лучше проверять результат псевдоэкспериментами или сканом.

Что не делаем в этой лекции

Формальная проверка согласия

Минимум \(\chi^2\) часто используют не только для подгонки, но и для проверки согласия модели с данными.

Для этого нужно знать распределение статистики \(\chi^2_{\min}\) и число степеней свободы. Это отдельная тема.

В этой лекции \(\chi^2\) — прежде всего функция для оценки параметров и их неопределённостей. Формальные \(p\)-значения, значимости и проверки согласия будут позже.

Когда МНК не надо использовать

Малые пуассоновские счёты и пустые бины.
Событийный анализ без биннирования.
Ошибки зависят от параметров.
Существенные ошибки есть не только по вертикальной оси.
Распределения асимметричны или ограничены.
Локальная квадратичная аппроксимация явно плоха.

В этих случаях лучше начинать с вероятностной модели и писать правдоподобие.

Практический рецепт

Алгоритм анализа

Записать модель \(\boldsymbol\lambda(\boldsymbol\theta,\boldsymbol\eta)\).
Определить ковариацию данных \(V_y\).
Для систематик задать номиналы \(\boldsymbol\eta_0\) и ковариацию \(V_\eta\).
Построить \(\chi^2(\boldsymbol\theta,\boldsymbol\eta)\) со штрафами.
Минимизировать или профилировать мешающие параметры.
Получить ковариацию параметров из локальной квадратичной формы.
Проверить остатки, корреляции и устойчивость результата.

Что сообщать вместе с результатом

подогнанные параметры и их единицы;
ковариационную или корреляционную матрицу параметров;
использованный вид \(\chi^2\);
какие систематики включены и как они ограничены;
были ли параметры профилированы;
графики данных, модели и остатков;
проверки устойчивости.

Что важно запомнить

Резюме

МНК возникает из гауссова правдоподобия.
Корреляции данных учитываются заменой диагональных весов на \(V_y^{-1}\).
Локальная форма \(\Delta\chi^2\) задаёт ковариационную матрицу параметров.
Систематики удобно описывать мешающими параметрами со штрафом.
Линейные систематики можно либо профилировать, либо добавить к ковариации данных: \(V=V_y+HV_\eta H^\mathsf T\).
Для мультипликативной нормировки нельзя слепо строить ковариацию из самих наблюдённых значений.
Ошибки производных величин переносятся формулой \(V_\alpha=AV_\theta A^\mathsf T\).
Если гауссова и линейная аппроксимации не работают, нужно возвращаться к полному правдоподобию.