Киральная аномалия: откуда берутся частицы?The chiral anomaly: where do the particles come from?

Безмассовый фермион на кольце: электрическое поле сдвигает уровни, правые поднимаются через $E=0$, левые опускаются, и подсчёт даёт $dQ_5/dt=eEL/\pi$ при сохранении векторного заряда; разные способы обрезать бесконечное море показывают, что выбор регуляризации решает, какой ток сохранится. Затем уровни Ландау в $3+1$ измерениях дают $\partial_\mu j_5^\mu=\frac{e^2}{2\pi^2}\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$ и распад $\pi^0\to\gamma\gamma$.A massless fermion on a ring: an electric field shifts the levels, the right-handed ones rise through $E=0$, the left-handed ones fall, and the counting gives $dQ_5/dt=eEL/\pi$ with the vector charge conserved; different ways to cut the infinite sea show that the choice of the regularisation decides which current survives. Then the Landau levels in $3+1$ dimensions give $\partial_\mu j_5^\mu=\frac{e^2}{2\pi^2}\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$ and the decay $\pi^0\to\gamma\gamma$.