Связанные маятники в веществе

Механическая модель MSW-эффекта: проход через резонанс и гашение вакуумной моды

Укоротите маятник 1 и посмотрите, как меняются нормальные моды. Затем поднимите его опору до вакуумной длины медленно и быстро. Куда уходит энергия и почему исчезает вакуумная мода 1?

\(u=g/\ell_1-g/\ell_1^{\rm vac}=\) 19,48 с\(^{-2}\)

\(\ell_2=1\) м, \(\ell_1^{\rm vac}=1{,}95\) м

\(\theta_m\)—
доля маятника 2, \(P_2\)—
верхняя мода—
\(|c_1|^2\)—
\(\arg(f/d)\)—
\(\Omega_\pm(\ell_1)\): верхняя нижняя без связи
вакуумная мода 1: \(d\) \(f\) \(c_1=d+f\)
\(P_2\) \(|c_1|^2\) верхняя мгновенная мода

Что смотреть

  • постоянная длина: в начале качается только маятник 1. Доля маятника 2 колеблется между нулём и \(\sin^22\theta_m\). При \(\ell_1=\ell_2=1\) м энергия переходит целиком, при коротком маятнике 1 передача подавлена.
  • проход, \(T=70\) с: старт в верхней нормальной моде при \(\ell_1=0{,}40\) м. Система остаётся на верхней ветви, и энергия уходит в маятник 2. На выходе \(|d|\simeq|f|\simeq0{,}41\), \(\arg(f/d)\simeq180^\circ\), \(|c_1|^2\simeq4\cdot10^{-4}\).
  • проход, \(T=3\) с: мода не успевает повернуться. На нижней ветви остаётся около 0,71, и маятники продолжают обмениваться энергией.
  • связь \(\kappa\): слабая пружина сужает зазор между ветвями на резонансе, и для следования нужен более медленный подъём.

Как считается

Опора маятника 1 движется по вертикали вместе с изменением длины, грузы остаются на одной высоте, пружина горизонтальна. Уравнения

\[ \begin{aligned} \ddot x_1&=-\frac{g}{\ell_1(t)}\,x_1-\kappa\,(x_1-x_2),\\ \ddot x_2&=-\frac{g}{\ell_2}\,x_2-\kappa\,(x_2-x_1) \end{aligned} \]

точны при любой скорости подъёма и решаются методом Рунге–Кутты четвёртого порядка с шагом не больше 4 мс. Длина меняется гладко: \(g/\ell_1\) идёт от начального значения к вакуумному по закону \(s^3(10-15s+6s^2)\), \(s=(t-4\ \text{с})/T\). Вакуумная длина \(\ell_1^{\rm vac}=1{,}95\) м соответствует углу \(\theta=20^\circ\) при \(\kappa=2\ \text{с}^{-2}\) и при изменении \(\kappa\) не меняется.

Амплитуды строятся по мгновенным нормальным модам \(e_k\) с частотами \(\Omega_k\) и координатами \(Q_k\), \(P_k=\dot Q_k\):

\[ \boldsymbol\psi=\sum_k e_k\sqrt{\frac{\Omega_k}{2}}\Big(Q_k-\frac{iP_k}{\Omega_k}\Big). \]

\(|\boldsymbol\psi|^2\) равно полному действию, то есть числу квантов. Компоненты \(\boldsymbol\psi\) по маятникам дают доли \(P_1\) и \(P_2\), по мгновенным модам заселённости ветвей, по вакуумным модам амплитуды \(c_1\) и \(c_2\). Движение раскладывается на два пути: \(d\) начинается с вакуумной моды 1, \(f\) с вакуумной моды 2, и \(c_1=d+f\). Фазоры показаны в системе нижней ветви (фаза \(\int\Omega_-\,dt\) вычтена), поэтому в вакууме они стоят на месте.