Медленно меняющийся осциллятор

Классическая модель адиабатического инварианта

Частица движется вдоль оси желоба и одновременно колеблется поперёк него. Запустите плавное изменение поперечной частоты и сравните начальную и конечную орбиты.

Материальная точка запущена с \(p_\parallel(0)>0\) вдоль неподвижного канала. Кривизна поперечного потенциала \(k(x)=m\omega^2(x)\) плавно уменьшается.
H = const, J ≃ const
профиль задан в пространстве сильное поперечное удержание слабое поперечное удержание p∥ P
Амплитуда растёт: \(Q_{\max}\propto\omega^{-1/2}\) Поперечный импульс падает: \(P_{\max}\propto\omega^{1/2}\)
Фазовый эллипс \((Q,P)\)
Перераспределение одной полной энергии
\(E_\perp\)
\(E_\parallel\)
\(H=E_\parallel+E_\perp,\quad E_\perp=P^2/(2m)+m\omega^2(x)Q^2/2\)
\(J=E_\perp/\omega\simeq\mathrm{const}\)
ω ↓ ⇒ E⊥ = Jω ↓ ⇒ \(E_\parallel=H-E_\perp ↑\)

В модели нет силы тяжести. Продольная скорость задаётся начальным условием, а поперечное возвращающее усилие создаёт квадратичный потенциал. При медленном изменении частоты сохраняется отношение \(J=E_\perp/\omega\).