Лекция 4. Математическое ожидание и распространение ошибок

Статистический анализ данных

Дмитрий В. Наумов (ОИЯИ)

Черновой план

  • TODO: математическое ожидание, дисперсия, ковариация
  • TODO: корреляции и ковариационные матрицы
  • TODO: линейное распространение ошибок

Как увидеть распределение на практике

  • Сгенерировать много реализаций случайной величины.
  • Для дискретной величины посчитать частоты.
  • Для непрерывной величины построить нормированную гистограмму.
  • Чем больше статистика, тем ближе гистограмма к PMF/PDF.

NumPy: биномиальное распределение

Число успехов в \(n\) независимых испытаниях: \(K\sim\mathrm{Bin}(n,p)\).

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(7)
k = rng.binomial(n=20, p=0.3, size=20_000)

NumPy: распределение Пуассона

Число событий в фиксированном интервале: \(N\sim\mathrm{Pois}(\lambda)\).

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(7)
k = rng.poisson(lam=4, size=20_000)

NumPy: нормальное распределение

Гауссова ошибка измерения: \(X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma)\).

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(7)
x = rng.normal(loc=0, scale=1, size=20_000)

Задачи

Задача

Покажите, что функция правдоподобия для пуассоновского счёта \(n\) с математическим ожиданием \(\mu\) имеет вид \[ L(\mu)=\frac{\mu^n e^{-\mu}}{n!}. \]