Задачи: χ²-интервалы и систематические неопределённости

Статистический анализ данных

Author

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к курсу

Задачи

Задача 1. Коррелированные измерения

Три гауссовых измерения \(Y_i\) имеют общее среднее \(\mu\) и известную ковариацию \[ V=\sigma^2 \begin{pmatrix} 1&\rho&\rho\\ \rho&1&\rho\\ \rho&\rho&1 \end{pmatrix}, \qquad \sigma>0,\quad -\tfrac12<\rho<1. \]

  1. Запишите \(\chi^2(\mu)\), найдите оценку \(\widehat\mu\) и её дисперсию.
  2. Объясните, почему \(\rho\) меняет ошибку, но не меняет центральное значение.
  3. Исследуйте пределы \(\rho\to0\), \(\rho\to1\) и \(\rho\to-1/2\) изнутри допустимого интервала. Что происходит с собственными значениями \(V\) на границах?
  4. Сравните истинную дисперсию оценки с ошибкой, которую вы сообщили бы при игнорировании корреляций.

Задача 2. Одна калибровка для многих измерений

Результаты описываются моделью \(Y_i=\mu+\eta+\varepsilon_i\), \(i=1,\ldots,N\), где \(\varepsilon_i\) независимы и имеют распределение \(\mathcal N(0,s^2)\). Независимая калибровка даёт \(Z\sim\mathcal N(\eta,\tau^2)\). Параметры \(\mu,\eta\) фиксированы, дисперсии \(s^2,\tau^2>0\) известны.

  1. Запишите совместный \(\chi^2(\mu,\eta)\) для полученных \(y_i\) и \(z\).
  2. Найдите общий минимум, профиль по \(\mu\) и дисперсию оценки \(\widehat\mu\).
  3. Проверьте эквивалентную запись с остатками \(y_i-z-\mu\) и матрицей \(V=s^2I+\tau^2\mathbf1\mathbf1^{\mathsf T}\), где \(I\) — единичная матрица, \(\mathbf1\) — вектор из единиц.
  4. Что происходит с ошибкой \(\widehat\mu\) при \(N\to\infty\)? Что получилось бы, если ошибочно добавить \(\tau^2\) только к диагонали?
  5. При \(\mu=10\), \(\eta=0.5\), \(s=1\), \(\tau=0.3\), \(N=20\) проверьте ответ псевдоэкспериментами. В каждом опыте заново генерируйте и основные данные, и калибровку.

Задача 3. Кривизна и нелинейная подгонка

Средний сигнал имеет вид \(f(t)=A e^{-\lambda t}\). Сгенерируйте пять независимых гауссовых измерений при \(t_i=0,1,2,3,4\) с, \(A=10\) мВ, \(\lambda=0.5\) с\(^{-1}\) и известной одинаковой ошибке \(s=1\) мВ. Зафиксируйте начальное состояние генератора.

  1. Подгоните \(A>0\) и \(\lambda\ge0\), используя несколько начальных точек.
  2. В случае внутреннего минимума вычислите матрицу вторых производных \(\chi^2\) и локальную ковариацию. Проверьте множитель \(1/2\).
  3. Постройте контур \(\Delta\chi^2=2.30\) и сравните с локальным эллипсом. Гарантирует ли само значение порога покрытие \(68.3\%\) в этой задаче?
  4. Постройте профиль по \(\lambda\) и сечение с фиксированным \(\widehat A\).
  5. Повторите расчёт при \(s=3\) мВ, сохранив те же стандартные гауссовы случайные числа. Исследуйте асимметрию профиля и влияние границы \(\lambda=0\).

Задача 4. Общая нормировка

Даны \(y_1=8.00\) пб, \(y_2=8.50\) пб и известные независимые гауссовы ошибки \(s_1=0.16\) пб, \(s_2=0.17\) пб. Модель имеет вид \(Y_i=(1+\alpha)\mu+\varepsilon_i\). Независимая калибровка \(Z\sim\mathcal N(\alpha,f_N^2)\) дала \(z=0\) при \(f_N=0.10\).

  1. Запишите совместный \(\chi^2\), найдите минимум и аналитический профиль по \(\mu\).
  2. Вычислите локальную ковариацию \((\widehat\mu,\widehat\alpha)\) и границы \(\Delta\chi^2_{\mathrm p}=1\). Сравните их с \(\widehat\mu\pm\sigma_\mu\).
  3. Постройте матрицу \(V_{ij}(\mu)=s_i^2\delta_{ij}+f_N^2\mu^2\) и численно проверьте эквивалентность профильной записи при нескольких \(\mu\).
  4. Повторите подгонку с фиксированной матрицей \(V_{ij}=s_i^2\delta_{ij}+f_N^2y_i y_j\). Найдите веса и объясните сдвиг оценки.
  5. Почему добавление \(\ln\det V(\mu)\) меняет исходную профильную задачу?

Задача 5. Энергия по калибровке

Калибровка описывается прямой \(y=a+bE\). Получены \(\widehat a=2\) канала, \(\widehat b=100\) каналов/МэВ, \(\operatorname{Var}(\widehat a)=28/3\) канал\(^2\), \(\operatorname{Var}(\widehat b)=2\) канал\(^2\)/МэВ\(^2\) и \(\operatorname{cov}(\widehat a,\widehat b)=-4\) канал\(^2\)/МэВ. Новое независимое измерение дало \(y_*=202\) канала с ошибкой \(s_*=2\) канала.

  1. Найдите \(\widehat E=(y_*-\widehat a)/\widehat b\).
  2. Выведите её дисперсию в линейном приближении и вычислите ошибку в МэВ.
  3. Повторите расчёт, отбросив ковариацию. Насколько изменился ответ?
  4. Ковариация калибровки уже включает общую систематическую неопределённость. Нужно ли добавлять её вклад к ошибке энергии ещё раз?
  5. При каких значениях \(\widehat b\) и его ошибки линейное приближение для отношения требует проверки?