Задачи: двумерный гаусс

Статистический анализ данных

Author

Дмитрий В. Наумов

Задачи

Для двумерного гауссова распределения

\[ D^2=(\mathbf X-\boldsymbol\mu)^{\mathsf T} V^{-1}(\mathbf X-\boldsymbol\mu) \sim\chi_2^2. \]

Получите плотность \(D^2\) и покажите, что \[ P(D^2\leq c)=1-e^{-c/2}. \]
Найдите \(c\) для областей с вероятностями \(68.3\%\), \(90\%\) и \(95\%\).
Вычислите вероятность внутри контура \(D^2=1\).
Сравните этот результат с одномерной вероятностью \(P(|Z|\leq1)\) и объясните различие.

Даны средний вектор и ковариационная матрица двух измеренных энергий:

\[ \boldsymbol\mu= \begin{pmatrix}60\\40\end{pmatrix}\ \text{ГэВ}, \qquad V= \begin{pmatrix} 1.44&0.36\\ 0.36&1.00 \end{pmatrix}\ \text{ГэВ}^2. \]

Найдите стандартные отклонения и коэффициент корреляции.
Вычислите собственные значения и собственные векторы \(V\).
Найдите длины и направления полуосей эллипса \(D^2=2.30\).
Для точки \(\mathbf x=(61.2,41.0)^{\mathsf T}\) ГэВ вычислите \(D^2\) и определите, лежит ли она внутри области с вероятностью \(68.3\%\).

Одна величина измерена двумя способами:

\[ x_1=10.2\pm0.8, \qquad x_2=11.1\pm0.4. \]

Найдите взвешенное среднее и его стандартное отклонение, считая измерения независимыми.
Повторите расчёт для коэффициента корреляции \(\rho=0.6\).
Выпишите оба веса во втором случае и объясните знак каждого из них.
Проверьте, что ковариационная матрица положительно определена.

Для двух безмассовых частиц

\[ m^2=2E_1E_2(1-\cos\theta). \]

Пусть \(E_1=60\) ГэВ, \(E_2=40\) ГэВ, \(\theta=0.200\) рад, а ковариационная матрица величин \((E_1,E_2,\theta)\) равна

\[ V= \begin{pmatrix} 1.44&0.36&0\\ 0.36&1.00&0\\ 0&0&2.5\cdot10^{-5} \end{pmatrix}. \]

Найдите градиент \(m^2\) и вычислите \(\sigma_{m^2}\).
Получите \(\sigma_m\) линейным распространением ошибки.
Повторите расчёт при \(\operatorname{cov}(E_1,E_2)=0\) и сравните ответы.
Исследуйте предел \(\theta\ll1\): получите приближённые выражения для \(m\) и его производных.