Задачи: метод Монте-Карло

Статистический анализ данных

Author

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к курсу

Задачи

Задача 1. Обратная функция распределения

Пусть \[ U\sim\mathrm U(0,1). \]

  1. Покажите, что \[ X=-\frac{1}{\lambda}\ln(1-U) \] имеет экспоненциальное распределение с параметром \(\lambda\).
  2. Сгенерируйте выборку \(X\) и сравните гистограмму с аналитической плотностью.
  3. Проверьте выборочные среднее и дисперсию.

Задача 2. Метод отбора

Требуется генерировать плотность \[ f(x)=6x(1-x), \qquad 0\le x\le1. \]

  1. Найдите максимум \(f(x)\).
  2. Постройте алгоритм отбора из равномерного распределения.
  3. Вычислите теоретическую эффективность алгоритма.
  4. Проверьте её численно.

Задача 3. Интегрирование методом Монте-Карло

Вычислите \[ I=\int_0^1\frac{4}{1+x^2}\,dx=\pi \] методом Монте-Карло.

  1. Запишите оценку \(\widehat I_N\).
  2. Оцените её статистическую ошибку по выборке.
  3. Исследуйте зависимость ошибки от \(N\).
  4. Покажите численно, что ошибка убывает приблизительно как \(N^{-1/2}\).

Задача 4. Редкое событие и выборка по важности

Требуется оценить вероятность \[ p=P(Z>4), \qquad Z\sim\mathrm N(0,1). \]

  1. Оцените \(p\) наивной генерацией из стандартного гаусса.
  2. Объясните, почему для устойчивой оценки требуется очень большая выборка.
  3. Предложите распределение \(q(z)\), чаще генерирующее область \(z>4\).
  4. Запишите соответствующий вес \(w(z)=f(z)/q(z)\).
  5. Сравните дисперсии двух оценок.

Задача 5. Псевдоэксперименты для счётного эксперимента

Пусть \[ N\sim\operatorname{Pois}(s+b), \qquad \widehat s=N-b, \] где фон \(b\) известен точно.

  1. Найдите аналитические \(\mathbb E[\widehat s]\) и \(\operatorname{Var}(\widehat s)\).
  2. Постройте ансамбль псевдоэкспериментов.
  3. Сравните выборочные среднее и дисперсию с аналитическими значениями.
  4. Оцените вероятность получить \(\widehat s<0\).

Задача 6. Нелинейное распространение ошибки

Пусть коррелированные величины имеют распределение \[ \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} \sim \mathrm N\!\left[ \begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \rho\sigma_X\sigma_Y\\ \rho\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2 \end{pmatrix} \right]. \]

Для отношения \[ R=\frac{X}{Y} \] сравните:

  1. линейную оценку ошибки;
  2. стандартное отклонение выборки Монте-Карло;
  3. центральный квантильный интервал \([q_{0.16},q_{0.84}]\).

Исследуйте зависимость результатов от \(\sigma_Y\) и \(\rho\).

Задача 7. Эффективность отбора

Из \(N_{\rm gen}=10\,000\) сгенерированных событий отбор прошло \(N_{\rm sel}=730\).

  1. Оцените эффективность отбора.
  2. Оцените её биномиальную статистическую ошибку.
  3. Сколько событий требуется сгенерировать, чтобы относительная ошибка эффективности была меньше \(1\%\)?
  4. Обсудите, как изменится задача при наличии весов событий.

Задача 8. Эффективный размер выборки

Для взвешенной выборки определено \[ N_{\rm eff} = \frac{(\sum_k w_k)^2}{\sum_k w_k^2}. \]

  1. Покажите, что при одинаковых весах \(N_{\rm eff}=N\).
  2. Найдите \(N_{\rm eff}\) для весов \[ (1,1,1,1,6). \]
  3. Сравните результат с фактическим числом событий.
  4. Объясните, почему большая вариация весов ухудшает статистическую точность.