Задачи: распространение ошибок

Статистический анализ данных

← Вернуться к курсу

Задачи

Задача 1. Радиус и площадь круга

Измеренный радиус круга равен \[ R=(10.0\pm0.3)\ \text{см}. \]

1. Найдите площадь \(S=\pi R^2\) и её ошибку в линейном приближении.
2. Сравните относительные ошибки \(S\) и \(R\).
3. Оцените поправку к математическому ожиданию площади, возникающую из-за квадратичности функции.

Задача 2. Сумма и разность коррелированных величин

Пусть \[ \sigma_X=2, \qquad \sigma_Y=3, \qquad \rho_{XY}=0.8. \]

Вычислите ошибки: \[ S=X+Y, \qquad D=X-Y. \]

Повторите вычисление для \(\rho_{XY}=-0.8\) и объясните изменение результата.

Задача 3. Ошибка отношения

Эффективность определяется отношением \[ \varepsilon=\frac{N_{\mathrm{selected}}}{N_{\mathrm{total}}}. \]

1. Выведите линейную формулу для \(\sigma_\varepsilon\), предполагая известные \(\sigma_{\mathrm{selected}}\), \(\sigma_{\mathrm{total}}\) и корреляцию \(\rho\).
2. Объясните, почему предположение о независимости числителя и знаменателя обычно неверно.
3. Сравните ответы для \(\rho=0\) и \(\rho>0\).

Задача 4. Преобразование ковариационной матрицы

Пусть \[ \mathbf X= \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}, \qquad V_X= \begin{pmatrix} 4&1.2\\ 1.2&1 \end{pmatrix}. \]

Для новых величин \[ S=X+Y, \qquad D=X-Y \] найдите:

1. матрицу Якоби;
2. ковариационную матрицу \(V_{SD}\);
3. коэффициент корреляции между \(S\) и \(D\).

Задача 5. Проверка линейного приближения

Пусть \[ X\sim\mathrm N(1,\sigma_X^2), \qquad Y=X+aX^2. \]

1. Получите линейную оценку \(\sigma_Y\).
2. Выведите точные \(\mathbb E[Y]\) и \(\operatorname{Var}(Y)\).
3. Сгенерируйте не менее \(10^5\) значений \(X\) и сравните выборочные моменты \(Y\) с точным и линейным результатами.
4. На сетке \(0\le a\le1\) и \(0.05\le\sigma_X\le1\) найдите область, в которой линейная оценка стандартного отклонения отличается от точной менее чем на \(5\%\).