Задачи: когда гаусс не возникает

Статистический анализ данных

Author

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к курсу

Задачи

Задача 1. Среднее распределения Коши

Для независимых \(X_i\sim\mathrm{Cauchy}(0,1)\) покажите, что дисперсия не существует, а \[ \overline X_n=\frac{1}{n}\sum_iX_i \] имеет то же распределение Коши. Почему это не противоречит ЦПТ?

Задача 2. Тяжёлый хвост с конечной дисперсией

Пусть \[ p(x)\sim\frac{C}{|x|^{1+\alpha}}. \]

  1. При каких \(\alpha\) существуют среднее и дисперсия?
  2. Почему при \(\alpha\) немного больше 2 сходимость к гауссу может быть медленной?

Задача 3. Один доминирующий вклад

Пусть \[ S=X_0+\epsilon_1+\dots+\epsilon_n, \] где \(\epsilon_i\sim\mathrm{N}(0,\sigma^2)\), а \(X_0\) негауссов и \[ \mathrm{Var}(X_0)\gg n\sigma^2. \] Объясните форму распределения \(S\).

Задача 4. Общая систематическая ошибка

Пусть \[ X_i=\mu+C+\epsilon_i, \] где \(C\sim\mathrm{N}(0,\sigma_C^2)\) и \(\epsilon_i\sim\mathrm{N}(0,\sigma_\epsilon^2)\). Найдите \(\mathbb{E}[\overline X_n]\), \(\mathrm{Var}(\overline X_n)\) и предел дисперсии при \(n\to\infty\).

Задача 5. Усреднение коррелированных измерений

Пусть \(n\) величин имеют одинаковую дисперсию \(\sigma^2\) и одинаковый коэффициент корреляции \(\rho\) для любой пары.

  1. Получите дисперсию их среднего.
  2. Укажите допустимый диапазон \(\rho\) при фиксированном \(n\).
  3. Рассмотрите случаи \(\rho=0\) и \(\rho>0\) при увеличении \(n\).

Задача 6. Смесь двух гауссов

Пусть \[ X|A\sim\mathrm{N}(\mu_A,\sigma_A^2),\qquad X|B\sim\mathrm{N}(\mu_B,\sigma_B^2), \] а вероятность класса \(A\) равна \(w\). Найдите полные среднее и дисперсию. Когда смесь плохо похожа на один гаусс?

Задача 7. Скрытая топология в жидком сцинтилляторе

Моноэнергетический \(\gamma\)-квант с энергией \[ E_\gamma=1\ \text{МэВ} \] может передать энергию вторичным электронам двумя способами: \[ \theta=A:\quad T_1=1\ \text{МэВ}, \] \[ \theta=B:\quad T_1=T_2=0.5\ \text{МэВ}. \]

Из-за нелинейности светового выхода средние сигналы различаются: \[ Q|\theta=A\sim\mathrm{Pois}(1000), \qquad Q|\theta=B\sim\mathrm{Pois}(980). \] Считайте классы равновероятными.

  1. Найдите полное среднее \(\mathbb E[Q]\).
  2. Вычислите среднюю внутриклассовую дисперсию \[ \mathbb E_\theta[\mathrm{Var}(Q|\theta)]. \]
  3. Вычислите топологический вклад \[ \mathrm{Var}_\theta(\mathbb E[Q|\theta]). \]
  4. Найдите полную дисперсию и стандартное отклонение \(Q\).
  5. Сравните результат с пуассоновской моделью \[ Q\sim\mathrm{Pois}(\mathbb E[Q]). \] Какой вклад не описывается этой моделью?

Задача 8. Отношение гауссовых величин

Для независимых \(X,Y\sim\mathrm{N}(0,1)\) выведите плотность отношения \(R=X/Y\) и покажите, что это распределение Коши.