Задачи: распространение ошибок и ковариации

Статистический анализ данных

Author

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к курсу

Задачи

Задача 1. Радиус и площадь круга

Измеренный радиус круга равен \[ R=(10.0\pm0.3)\ \mathrm{cm}. \]

  1. Найдите площадь \(S=\pi R^2\) и её ошибку в линейном приближении.
  2. Сравните относительные ошибки \(S\) и \(R\).
  3. Оцените поправку к математическому ожиданию площади, возникающую из-за квадратичности функции.

Задача 2. Сумма и разность коррелированных величин

Пусть \[ \sigma_X=2, \qquad \sigma_Y=3, \qquad \rho_{XY}=0.8. \]

Вычислите ошибки: \[ S=X+Y, \qquad D=X-Y. \]

Повторите вычисление для \(\rho_{XY}=-0.8\) и объясните изменение результата.

Задача 3. Ошибка отношения

Эффективность определяется отношением \[ \varepsilon=\frac{N_{\rm selected}}{N_{\rm total}}. \]

  1. Выведите линейную формулу для \(\sigma_\varepsilon\), предполагая известные \(\sigma_{\rm selected}\), \(\sigma_{\rm total}\) и корреляцию \(\rho\).
  2. Объясните, почему предположение о независимости числителя и знаменателя обычно неверно.
  3. Сравните ответы для \(\rho=0\) и \(\rho>0\).

Задача 4. Преобразование ковариационной матрицы

Пусть \[ \mathbf X= \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}, \qquad V_X= \begin{pmatrix} 4&1.2\\ 1.2&1 \end{pmatrix}. \]

Для новых величин \[ S=X+Y, \qquad D=X-Y \] найдите:

  1. матрицу Якоби;
  2. ковариационную матрицу \(V_{SD}\);
  3. коэффициент корреляции между \(S\) и \(D\).

Задача 5. Вероятностные эллипсы

Для двумерного гауссова распределения \[ D^2=(\mathbf x-\boldsymbol\mu)^TV^{-1}(\mathbf x-\boldsymbol\mu) \sim\chi^2_2. \]

  1. Покажите, что \[ P(D^2\le c)=1-e^{-c/2}. \]
  2. Найдите \(c\) для областей с вероятностями \(68.3\%\), \(90\%\) и \(95\%\).
  3. Объясните, почему контур \(D^2=1\) содержит не \(68.3\%\), а примерно \(39.3\%\) вероятности.

Задача 6. Взвешенное среднее

Получены два независимых измерения: \[ x_1=10.2\pm0.8, \qquad x_2=11.1\pm0.4. \]

  1. Найдите их взвешенное среднее и ошибку.
  2. Повторите расчёт при коэффициенте корреляции \(\rho=0.6\).
  3. Объясните, почему коррелированное второе измерение добавляет меньше новой информации.

Задача 7. Инвариантная масса

Для двух безмассовых частиц \[ m^2=2E_1E_2(1-\cos\theta). \]

  1. Найдите градиент \(m^2\) по переменным \((E_1,E_2,\theta)\).
  2. Запишите ошибку \(\sigma_{m^2}\) через полную ковариационную матрицу.
  3. Получите \(\sigma_m\).
  4. Исследуйте предел малых углов \(\theta\ll1\).

Задача 8. Проверка линейного приближения

Пусть \[ X\sim\mathrm N(1,\sigma_X^2), \qquad Y=X+aX^2. \]

  1. Получите линейную оценку \(\sigma_Y\).
  2. Сгенерируйте выборку \(X\) и сравните оценку с дисперсией преобразованной выборки.
  3. Исследуйте зависимость расхождения от \(a\) и \(\sigma_X\).
  4. Определите область параметров, где линейное приближение достаточно точно.