Задачи: характеристические функции

Статистический анализ данных

Author

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к курсу

Задачи

Задача 1. Сумма двух равномерных величин

Пусть независимые случайные величины распределены равномерно: \[ X,Y\sim\mathrm{U}(0,1), \qquad f_X(x)=f_Y(x)=\theta(x)\theta(1-x). \]

Для суммы \(S=X+Y\):

  1. Вычислите плотность \(f_S(s)\) непосредственно как свёртку.
  2. Покажите, что произведение \(\theta\)-функций ограничивает область интегрирования условием \[ \max(0,s-1)\le x\le\min(1,s). \]
  3. Получите кусочно заданную треугольную плотность и проверьте её нормировку.
  4. Найдите характеристическую функцию \(\varphi_X(t)\).
  5. Используя \(\varphi_S(t)=\varphi_X(t)^2\), получите тот же ответ через обратное преобразование Фурье.
  6. Нарисуйте плотности \(f_X(x)\) и \(f_S(s)\) и объясните форму распределения суммы.

Задача 2. Распределение Бернулли

Пусть \[ P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p. \]

  1. Найдите \(\varphi_X(t)\).
  2. Найдите характеристическую функцию суммы \(n\) независимых величин Бернулли.
  3. Объясните, почему сумма имеет биномиальное распределение.

Задача 3. Сумма пуассоновских величин

Для независимых \[ N_1\sim\mathrm{Pois}(\lambda_1),\qquad N_2\sim\mathrm{Pois}(\lambda_2) \] покажите с помощью характеристических функций, что \[ N_1+N_2\sim\mathrm{Pois}(\lambda_1+\lambda_2). \]

Задача 4. Сумма гауссовых величин

Пусть независимые величины распределены как \[ X_k\sim\mathrm{N}(\mu_k,\sigma_k^2). \] Покажите, что \[ \sum_kX_k \sim \mathrm{N}\!\left(\sum_k\mu_k,\sum_k\sigma_k^2\right). \]

Задача 5. Моменты и производные

Для \[ \varphi_N(t)=\exp\!\left[\lambda(e^{it}-1)\right] \] найдите \(\mathbb{E}[N]\), \(\mathbb{E}[N^2]\) и \(\mathrm{Var}(N)\) через производные в нуле.

Задача 6. Распределение Коши

Для \[ \varphi_X(t)=e^{-|t|} \] объясните, почему \(\varphi_X'(0)\) не существует, и покажите, что \[ \frac{X_1+\dots+X_n}{n} \] имеет то же распределение Коши.

Задача 7. Распределение \(S_n=X_1+\dots+X_n\) в пределе \(n\to\infty\)

Пусть \(X_1,\dots,X_n\) — независимые одинаково распределённые случайные величины, \[ S_n=X_1+\dots+X_n, \qquad \langle X\rangle_n=\frac{S_n}{n}. \]

Среднее и вариация \(X_i\): \[ \mathbb{E}[X_i]=\mu, \qquad \mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty. \] Рассмотрим нормированную сумму \[ Z_n= \frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}. \]

  • Покажите, что характеристическая функция \(Z_n\) имеет вид \[ \varphi_{Z_n}(t) = \left[ e^{-it\mu/(\sigma\sqrt n)} \varphi_X\left(\frac{t}{\sigma\sqrt n}\right) \right]^n. \]

  • Для каждого из следующих распределений найдите характеристическую функцию и предел \[ \lim_{n\to\infty}\varphi_{Z_n}(t). \]

    Симметричное распределение Бернулли: \[ P(X=1)=P(X=-1)=\frac12. \]

    Равномерное распределение: \[ X\sim U(-\sqrt3,\sqrt3). \]

    Экспоненциальное распределение: \[ X\sim \mathrm{Exp}(1). \]

    Распределение Пуассона: \[ X\sim \mathrm{Pois}(\lambda). \]

  • Убедитесь, что во всех четырёх случаях получается один и тот же предел: \[ \varphi_{Z_n}(t)\to e^{-t^2/2}. \]