Задачи: случайные величины и распределения

Статистический анализ данных

Author

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к курсу

Задачи

Задача 1. Предел биномиального распределения

Покажите, что при \[ n\to\infty,\qquad p\to 0,\qquad np=\lambda=\text{const} \] биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона: \[ \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \longrightarrow \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}. \]

Подсказка. Положите \(p=\lambda/n\) и рассмотрите предел при фиксированном \(k\).

Задача 2. Предел Пуассона к гауссову распределению

Используя формулу Стирлинга, покажите, что при больших \(\lambda\) \[ P(N=n)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}} \exp\!\left[-\frac{(n-\lambda)^2}{2\lambda}\right]. \]

Задача 3. Моменты равномерного распределения

Пусть \(X\sim U(-1,1)\). Найдите:

  1. \(\mathbb{E}[X]\);
  2. \(\mathbb{E}[X^2]\);
  3. \(\mathrm{Var}(X)\).

Задача 4. Когда моменты однозначно задают распределение

Пусть \[ \mathbb{E}[X^{2n}]=1,\qquad \mathbb{E}[X^{2n+1}]=0. \] Покажите, что \(X=\pm1\) с равными вероятностями.

Подсказка. Используйте \(\mathbb{E}[(X^2-1)^2]=0\).

Задача 5. Распределение, определяемое своими моментами

Пусть случайная величина \(X\ge0\) имеет моменты \[ \mathbb{E}[X^n]=n!,\qquad n=0,1,2,\dots \]

Покажите, что её производящая функция моментов равна \[ M_X(t)=\frac{1}{1-t},\qquad t<1, \] и определите распределение \(X\).

Задача 6. Когда моментов недостаточно

Пусть \[ Y=e^Z,\qquad Z\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2). \]

  1. Найдите \(\mathbb{E}[Y^n]\).
  2. Узнайте, однозначно ли эти моменты определяют распределение \(Y\).
  3. Сформулируйте вывод.

Задача 7. Восстановление распределения на конечном носителе

Пусть \(X\) принимает значения \(-1\), \(0\), \(1\), причём \[ \mathbb{E}[X]=0,\qquad \mathbb{E}[X^2]=\frac{1}{2}. \] Найдите вероятности трёх значений.

Задача 8. Факториальные моменты распределения Пуассона

Для \(N\sim\mathrm{Pois}(\lambda)\) покажите, что \[ \mathbb{E}[N(N-1)\cdots(N-r+1)]=\lambda^r. \]