Экзаменационные проекты

Статистический анализ данных

Author

Дмитрий В. Наумов

← Вернуться к курсу

Экзаменационные проекты

Экзаменационный проект показывает полный путь от физического вопроса до воспроизводимого статистического вывода. Важен не объём кода, а ясная постановка задачи, обоснованный выбор метода, проверка его свойств и честная интерпретация результата.

Формат работы

Проект выполняется индивидуально или в паре. Можно выбрать тему ниже либо согласовать собственную задачу сопоставимого масштаба. Анализ должен быть воспроизводимым: после запуска кода из исходных данных должны получаться все числа, таблицы и рисунки отчёта.

Минимальные требования к сдаче

  • сформулирован физический или прикладной вопрос;
  • описаны данные, вероятностная модель и проверяемые предположения;
  • реализован основной статистический метод и хотя бы одна контрольная проверка;
  • исследованы неопределённости, устойчивость результата или coverage;
  • вывод отделяет статистический результат от его физической интерпретации;
  • репозиторий содержит report.qmd, slides.qmd, код анализа и README.md.

Темы проектов

01 Скрытая топология и энергетическое разрешение жидкого сцинтиллятора дисперсия · смесь

Краткая идея. Моноэнергетический γ-квант передаёт одну и ту же энергию разным наборам вторичных электронов. Из-за нелинейного светового выхода скрытая топология события создаёт дополнительный вклад в энергетическое разрешение.

Данные. Toy MC двух или нескольких классов каскада с пуассоновскими флуктуациями числа фотоэлектронов.

Модель. Смесь пуассоновских распределений и формула полной дисперсии.

Что нужно сделать

  1. Сгенерировать события нескольких скрытых классов.
  2. Разделить полную дисперсию на внутриклассовую и межклассовую части.
  3. Исследовать зависимость разрешения от нелинейности и долей классов.
  4. Проверить, что при линейном отклике дополнительный вклад исчезает.

Что сдать. report.qmd, slides.qmd, код анализа, README.md.

Ключевой результат. Количественная оценка вклада скрытой топологии в полную дисперсию.

02 Поиск редкого сигнала на известном фоне p-value · предел

Краткая идея. В счётном эксперименте наблюдается небольшое число событий на фоне. Нужно проверить гипотезу отсутствия сигнала и установить ограничение на его интенсивность.

Данные. Наблюдаемое число событий и toy MC для разных значений сигнала и фона.

Модель. Пуассоновский likelihood для суммы сигнала и фона.

Что нужно сделать

  1. Построить likelihood и оценить интенсивность сигнала.
  2. Вычислить p-value гипотезы отсутствия сигнала.
  3. Получить верхний предел выбранным методом.
  4. Проверить coverage предела с помощью псевдоэкспериментов.

Что сдать. report.qmd, slides.qmd, код анализа, README.md.

Ключевой результат. p-value и верхний предел с проверенным coverage.

03 Калибровка детектора с коррелированными неопределённостями оценка · ковариация

Краткая идея. По нескольким калибровочным точкам требуется восстановить энергетическую шкалу детектора. Общая ошибка нормировки коррелирует измерения и меняет результат fit.

Данные. Сгенерированная таблица калибровочных точек с независимыми и общими ошибками.

Модель. Линейная или слабо нелинейная калибровочная функция и многомерный гауссов likelihood.

Что нужно сделать

  1. Построить полную ковариационную матрицу.
  2. Сравнить fit с диагональной и полной матрицей ошибок.
  3. Оценить параметры шкалы и их корреляцию.
  4. Проверить остатки и качество согласия.

Что сдать. report.qmd, slides.qmd, код анализа, README.md.

Ключевой результат. Оценка параметров калибровки и их ковариационная матрица.

04 Совместимость двух измерений с общими систематиками контур · p-value

Краткая идея. Два эксперимента измеряют одни и те же параметры, но часть систематических неопределённостей у них общая. Нужно корректно оценить совместимость результатов.

Данные. Две оценки вектора параметров и их ковариационные матрицы.

Модель. Многомерный гаусс и статистика квадратичной формы.

Что нужно сделать

  1. Построить совместную ковариационную матрицу.
  2. Вычислить статистику совместимости.
  3. Построить доверительные эллипсы и совместный контур.
  4. Исследовать влияние общей корреляции на вывод.

Что сдать. report.qmd, slides.qmd, код анализа, README.md.

Ключевой результат. Контур совместной оценки и p-value совместимости.

05 Поиск локального избытка в спектре значимость

Краткая идея. В гладком спектре ищется узкий неизвестный сигнал. Сканирование положения пика повышает вероятность случайного локального избытка.

Данные. Toy MC бинированного спектра фоновой модели с возможным гауссовым пиком.

Модель. Пуассоновский likelihood, likelihood-ratio и псевдоэксперименты.

Что нужно сделать

  1. Выполнить сканирование положения и интенсивности сигнала.
  2. Найти локальную значимость максимального избытка.
  3. Откалибровать глобальное p-value по псевдоэкспериментам.
  4. Сравнить локальную и глобальную значимость.

Что сдать. report.qmd, slides.qmd, код анализа, README.md.

Ключевой результат. Локальное и глобальное p-value наблюдаемого избытка.

06 Интервалы для эффективности детектора интервал · coverage

Краткая идея. Эффективность оценивается как доля успешно зарегистрированных событий. При малой статистике разные интервальные методы ведут себя существенно по-разному.

Данные. Сгенерированные биномиальные выборки для разных истинных эффективностей и размеров выборки.

Модель. Биномиальное распределение.

Что нужно сделать

  1. Реализовать несколько интервальных оценок эффективности.
  2. Сравнить длину и положение интервалов.
  3. Измерить coverage по псевдоэкспериментам.
  4. Исследовать поведение методов у границ параметра.

Что сдать. report.qmd, slides.qmd, код анализа, README.md.

Ключевой результат. Карта coverage и рекомендация по выбору интервала.

07 Toy-анализ нейтринных осцилляций контур · систематики

Краткая идея. По спектру событий требуется оценить два параметра осцилляций. Неопределённости нормировки и энергетической шкалы должны учитываться как nuisance-параметры.

Данные. Toy MC спектра числа событий в энергетических интервалах.

Модель. Пуассоновский likelihood с constraint-членами для систематик.

Что нужно сделать

  1. Сгенерировать ожидаемый и наблюдаемый спектры.
  2. Выполнить профильный fit физических и nuisance-параметров.
  3. Построить двумерные доверительные контуры.
  4. Оценить влияние каждой систематики на результат.

Что сдать. report.qmd, slides.qmd, код анализа, README.md.

Ключевой результат. Доверительный контур параметров и таблица impacts систематик.

08 Байесовский анализ счётного эксперимента posterior · предел

Краткая идея. Для пуассоновского числа событий требуется получить posterior интенсивности сигнала при неопределённом фоне и исследовать чувствительность вывода к prior.

Данные. Счётные данные и вспомогательное измерение фона.

Модель. Иерархическая пуассоновская модель с nuisance-параметром фона.

Что нужно сделать

  1. Построить совместный posterior сигнала и фона.
  2. Маргинализовать nuisance-параметр.
  3. Получить credible interval или верхний предел.
  4. Сравнить вывод для нескольких обоснованных prior.

Что сдать. report.qmd, slides.qmd, код анализа, README.md.

Ключевой результат. Posterior и верхний предел с анализом чувствительности к prior.