Простые, но фундаментальные вопросы

• Частица — это волна или точка?
• Почему волна иногда даёт один локальный сигнал?
• Где в формулах появляется картина: сработала одна мишень, а другая нет?

Главные утверждения

• Частица в КТП — квантовое состояние поля, то есть квантовая волна.
• Мишень и детектор — тоже квантовые системы.
• Точечный сигнал — не исходное свойство частицы, а предельный режим взаимодействия.

Модель, которую будем считать

Берём падающий пучок как плоскую волну. Две мишени — нетождественные тяжёлые фермионы, описанные волновыми пакетами.

\[ |i\rangle = |A,B;k\rangle \]

\[ S = 1+iT \]

\[ |\Psi_f\rangle = iT|A,B;k\rangle \]

Нормировка одночастичных состояний

Используем ковариантную нормировку.

\[ \langle p'|p\rangle=(2\pi)^3 2E_p\,\delta^{(3)}(\mathbf p-\mathbf p') \]

\[ |A\rangle= \int\frac{d^3p_A}{(2\pi)^3} \frac{\psi_A(\mathbf p_A)}{\sqrt{2E_A}} |p_A\rangle \]

\[ \langle A|A\rangle= \int\frac{d^3p_A}{(2\pi)^3}|\psi_A(\mathbf p_A)|^2 \]

Две нетождественные мишени

Мишени различимы. Антисимметризации между A и B нет.

\[ |A,B\rangle= \int\frac{d^3p_A}{(2\pi)^3} \frac{d^3p_B}{(2\pi)^3} \frac{\psi_A(\mathbf p_A)\psi_B(\mathbf p_B)}{\sqrt{2E_A\,2E_B}} |p_A,p_B\rangle \]

\[ |A,B;k\rangle=|A,B\rangle\otimes |k\rangle \]

Что хотим получить

Нас интересует сектор, где падающая частица поглощена, а в финале остались две мишени.

\[ |\Psi_f\rangle= \int\frac{d^3p'_A}{(2\pi)^3} \frac{d^3p'_B}{(2\pi)^3} \frac{\Psi_{AB}(\mathbf p'_A,\mathbf p'_B)}{\sqrt{2E'_A\,2E'_B}} |p'_A,p'_B\rangle \]

\[ \Psi_{AB}(\mathbf p'_A,\mathbf p'_B)= \frac{\langle p'_A,p'_B;0|iT|A,B;k\rangle}{\sqrt{2E'_A\,2E'_B}} \]

Локальное взаимодействие с двумя мишенями

В первом порядке взаимодействие — сумма двух независимых вкладов.

\[ iT^{(1)}=-i\int d^4x\,\left(H_A(x)+H_B(x)\right) \]

\[ iT^{(1)}=iT_A+iT_B \]

\[ T_A\ \text{действует на}\ A\ \text{и пучок, но не действует на}\ B \]

Матричный элемент A-канала

Если фотон поглощается A, то B — spectator.

\[ \langle p'_A,p'_B;0|iT_A|p_A,p_B;k\rangle = K_A(p'_A;p_A,k)\,\langle p'_B|p_B\rangle \]

\[ \langle p'_B|p_B\rangle=(2\pi)^3 2E_B\,\delta^{(3)}(\mathbf p'_B-\mathbf p_B) \]

\[ \langle p'_A,p'_B;0|iT_A|p_A,p_B;k\rangle = K_A(p'_A;p_A,k)(2\pi)^3 2E_B\delta^{(3)}(\mathbf p'_B-\mathbf p_B) \]

Матричный элемент B-канала

Если фотон поглощается B, то A — spectator.

\[ \langle p'_A,p'_B;0|iT_B|p_A,p_B;k\rangle = K_B(p'_B;p_B,k)\,\langle p'_A|p_A\rangle \]

\[ \langle p'_A|p_A\rangle=(2\pi)^3 2E_A\,\delta^{(3)}(\mathbf p'_A-\mathbf p_A) \]

\[ \langle p'_A,p'_B;0|iT_B|p_A,p_B;k\rangle = K_B(p'_B;p_B,k)(2\pi)^3 2E_A\delta^{(3)}(\mathbf p'_A-\mathbf p_A) \]

В первом порядке нет третьего слагаемого

Connected-вклад, в котором обе мишени реально участвуют в одном акте, не возникает из независимого первого порядка.

\[ iT^{(1)}=iT_A+iT_B \]

\[ iT^{(1)}\neq iT_A+iT_B+iT_{AB}^{\rm conn} \]

\[ T_{AB}^{\rm conn}\ \text{возникает в более высоком порядке или как эффективный коллективный ток} \]

A-канал до использования дельта-функции

Подставляем начальные пакеты и spectator-фактор.

\[ \Psi_{AB}^{(A)}(\mathbf p'_A,\mathbf p'_B)= \frac{1}{\sqrt{2E'_A\,2E'_B}} \int\frac{d^3p_A}{(2\pi)^3}\frac{d^3p_B}{(2\pi)^3} \frac{\psi_A(\mathbf p_A)\psi_B(\mathbf p_B)}{\sqrt{2E_A\,2E_B}} \]

\[ \times K_A(p'_A;p_A,k)(2\pi)^3 2E_B\delta^{(3)}(\mathbf p'_B-\mathbf p_B) \]

A-канал после spectator-интеграла

Интеграл по импульсу B берётся сразу.

\[ \Psi_{AB}^{(A)}(\mathbf p'_A,\mathbf p'_B)= \frac{\psi_B(\mathbf p'_B)}{\sqrt{2E'_A}} \int\frac{d^3p_A}{(2\pi)^3} \frac{\psi_A(\mathbf p_A)}{\sqrt{2E_A}} K_A(p'_A;p_A,k) \]

\[ \Psi_{AB}^{(A)}(\mathbf p'_A,\mathbf p'_B) = \Psi_A^{\rm hit}(\mathbf p'_A)\,\psi_B(\mathbf p'_B) \]

B-канал после spectator-интеграла

Аналогично для поглощения на B.

\[ \Psi_{AB}^{(B)}(\mathbf p'_A,\mathbf p'_B)= \frac{\psi_A(\mathbf p'_A)}{\sqrt{2E'_B}} \int\frac{d^3p_B}{(2\pi)^3} \frac{\psi_B(\mathbf p_B)}{\sqrt{2E_B}} K_B(p'_B;p_B,k) \]

\[ \Psi_{AB}^{(B)}(\mathbf p'_A,\mathbf p'_B) = \psi_A(\mathbf p'_A)\,\Psi_B^{\rm hit}(\mathbf p'_B) \]

Финальная волновая функция

В первом порядке получаем сумму двух spectator-каналов.

\[ \Psi_{AB}^{(1)}(\mathbf p'_A,\mathbf p'_B) = \Psi_A^{\rm hit}(\mathbf p'_A)\psi_B(\mathbf p'_B) + \psi_A(\mathbf p'_A)\Psi_B^{\rm hit}(\mathbf p'_B) \]

\[ \text{первое слагаемое:}\quad A\ \text{изменился},\ B\ \text{остался spectator} \]

\[ \text{второе слагаемое:}\quad B\ \text{изменился},\ A\ \text{остался spectator} \]

Матричный элемент поглощения на A

Теперь раскрываем K через матричный элемент и законы сохранения.

\[ K_A(p'_A;p_A,k)= \langle p'_A;0|iT_A|p_A;k\rangle \]

\[ K_A(p'_A;p_A,k)= i(2\pi)^4\delta^{(4)}(p_A+k-p'_A)\mathcal{M}_A(p'_A;p_A,k) \]

A-канал: вычисляем интеграл

Пространственная дельта-функция даёт импульс начального пакета A.

\[ \mathbf p_A=\mathbf p'_A-\mathbf k \]

\[ \Psi_A^{\rm hit}(\mathbf p'_A)= i(2\pi) \frac{\psi_A(\mathbf p'_A-\mathbf k)}{\sqrt{2E'_A\,2E_A(\mathbf p'_A-\mathbf k)}} \]

\[ \times \delta\!\left(E_A(\mathbf p'_A-\mathbf k)+\omega-E'_A(\mathbf p'_A)\right) \mathcal{M}_A(p'_A;p'_A-k,k) \]

B-канал: вычисляем интеграл

Полностью аналогично.

\[ \mathbf p_B=\mathbf p'_B-\mathbf k \]

\[ \Psi_B^{\rm hit}(\mathbf p'_B)= i(2\pi) \frac{\psi_B(\mathbf p'_B-\mathbf k)}{\sqrt{2E'_B\,2E_B(\mathbf p'_B-\mathbf k)}} \]

\[ \times \delta\!\left(E_B(\mathbf p'_B-\mathbf k)+\omega-E'_B(\mathbf p'_B)\right) \mathcal{M}_B(p'_B;p'_B-k,k) \]

Итоговая явная форма

Именно здесь видно: одно слагаемое сдвигает A, другое — B.

\[ \Psi_{AB}^{(1)}= \Psi_A^{\rm hit}(\mathbf p'_A)\psi_B(\mathbf p'_B) + \psi_A(\mathbf p'_A)\Psi_B^{\rm hit}(\mathbf p'_B) \]

\[ \Psi_A^{\rm hit}\sim \psi_A(\mathbf p'_A-\mathbf k) \]

\[ \Psi_B^{\rm hit}\sim \psi_B(\mathbf p'_B-\mathbf k) \]

Зачем нужно внутреннее возбуждение

Свободная тяжёлая частица не может просто поглотить реальный фотон. Детектор должен иметь внутренние степени свободы.

\[ E_A(\mathbf p)=M_A+\frac{\mathbf p^2}{2M_A} \]

\[ E'_A(\mathbf p)=M_A+\varepsilon_A+\frac{\mathbf p^2}{2M_A} \]

\[ \varepsilon_A\ \text{кодирует ионизацию, фононы, тепло или другой внутренний отклик} \]

Энергетическая дельта-функция

Подставляем тяжёлый предел в A-канал.

\[ E_A(\mathbf p'_A-\mathbf k)+\omega-E'_A(\mathbf p'_A) = \omega-\varepsilon_A -\frac{\mathbf p'_A\cdot\mathbf k}{M_A} +\frac{\mathbf k^2}{2M_A} \]

\[ \delta\!\left(E_A(\mathbf p'_A-\mathbf k)+\omega-E'_A(\mathbf p'_A)\right) = \delta\!\left(\omega-\varepsilon_A-\frac{\mathbf p'_A\cdot\mathbf k}{M_A}+\frac{\mathbf k^2}{2M_A}\right) \]

Бесконечно тяжёлый предел

Если отдача мала, энергетическое условие сводится к резонансу внутреннего отклика.

\[ M_A\to\infty \]

\[ \delta\!\left(\omega-\varepsilon_A-\frac{\mathbf p'_A\cdot\mathbf k}{M_A}+\frac{\mathbf k^2}{2M_A}\right) \to \delta(\omega-\varepsilon_A) \]

\[ \text{фотон поглощается детектором, если энергия уходит во внутреннюю степень свободы} \]

Сработал A, но не B

Если финальный пакет A сдвинут на импульс k, а B остался исходным, доминирует первый член.

\[ \Psi_{AB}^{(1)} = \Psi_A^{\rm hit}\psi_B+ \psi_A\Psi_B^{\rm hit} \]

\[ \Psi_A^{\rm hit}\sim\psi_A(\mathbf p'_A-\mathbf k), \qquad \psi_B\sim\psi_B(\mathbf p'_B) \]

\[ \text{это и есть канал:}\quad A\ \text{получил сигнал},\ B\ \text{не изменился} \]

Сработал B, но не A

Аналогично доминирует второй член.

\[ \Psi_{AB}^{(1)} = \Psi_A^{\rm hit}\psi_B+ \psi_A\Psi_B^{\rm hit} \]

\[ \Psi_B^{\rm hit}\sim\psi_B(\mathbf p'_B-\mathbf k), \qquad \psi_A\sim\psi_A(\mathbf p'_A) \]

\[ \text{это канал:}\quad B\ \text{получил сигнал},\ A\ \text{не изменился} \]

Оба сильно сработали?

В первом порядке независимого взаимодействия такого канала нет.

\[ \Psi_{AB}^{(1)}= \Psi_A^{\rm hit}\psi_B+ \psi_A\Psi_B^{\rm hit} \]

\[ \text{нет слагаемого}\quad \Psi_A^{\rm hit}\Psi_B^{\rm hit} \]

\[ \text{сильный двойной сигнал требует connected-вклада или более высокого порядка} \]

Вектор состояния и две альтернативы

Перепишем результат в компактной форме.

\[ |\Psi_f^{(1)}\rangle = |\chi_A\rangle |B\rangle + |A\rangle |\chi_B\rangle \]

\[ |\chi_A\rangle=iT_A|A;k\rangle \]

\[ |\chi_B\rangle=iT_B|B;k\rangle \]

Вероятность: где появляется интерференция

Интерференция появляется не как новое слагаемое в состоянии, а как cross term в норме.

\[ \langle\Psi_f^{(1)}|\Psi_f^{(1)}\rangle = \langle\chi_A|\chi_A\rangle + \langle\chi_B|\chi_B\rangle + 2\operatorname{Re}\!\left[\langle\chi_A|A\rangle\langle B|\chi_B\rangle\right] \]

\[ \text{если cross term исчезает,}\quad P\simeq P_A+P_B \]

\[ \text{если cross term заметен, отклик когерентный} \]

Гауссов пакет мишени

Для проверки берём простой импульсный гаусс.

\[ \psi_j(\mathbf p)= N\exp\!\left[-\frac{(\mathbf p-\bar{\mathbf p}_j)^2}{4\sigma_p^2}\right] \exp\!\left[-i\mathbf p\cdot\mathbf R_j\right] \]

\[ \chi_j(\mathbf p)\simeq C_j\psi_j(\mathbf p-\mathbf k) \]

Перекрытие «сработал» и «не сработал»

Для гауссовых пакетов перекрытие вычисляется сразу.

\[ \langle j|\chi_j\rangle \simeq C_j\exp\!\left[-\frac{\mathbf k^2}{8\sigma_p^2}\right] \exp\!\left[i\mathbf k\cdot\mathbf R_j\right] \]

\[ \langle \chi_j|j\rangle \simeq C_j^*\exp\!\left[-\frac{\mathbf k^2}{8\sigma_p^2}\right] \exp\!\left[-i\mathbf k\cdot\mathbf R_j\right] \]

Интерференционный член

Подставляем перекрытия в cross term.

\[ P_{\rm int} = 2\operatorname{Re}\!\left[ C_A^*C_B \exp\!\left(-\frac{\mathbf k^2}{4\sigma_p^2}\right) \exp\!\left(i\mathbf k\cdot(\mathbf R_B-\mathbf R_A)\right) \right] \]

\[ |\mathbf k|\gg \sigma_p \quad\Rightarrow\quad P_{\rm int}\simeq 0 \]

\[ |\mathbf R_A-\mathbf R_B|\ll \lambda \quad\Rightarrow\quad \text{фаза почти общая} \]

Что значит «детекторы перекрываются»

Для различимых мишеней это не означает, что надо отождествить A и B. Это означает, что два конечных слагаемых не являются хорошо различимыми.

\[ \langle\chi_A|A\rangle\langle B|\chi_B\rangle\neq 0 \]

\[ \Psi_A^{\rm hit}\psi_B \quad\text{и}\quad \psi_A\Psi_B^{\rm hit} \quad\text{могут интерферировать} \]

\[ \text{тогда нельзя честно говорить: сработал строго A или строго B} \]

Апплет: два слагаемых финальной волновой функции

В апплете ниже используется ровно та модель, которую мы вывели:

\[ \Psi(p_A,p_B)=\chi_A(p_A)\psi_B(p_B)+\psi_A(p_A)\chi_B(p_B) \]

\[ \psi_R(p)=N\exp\left[-\frac{p^2}{4\sigma_p^2}\right]e^{-ipR}, \qquad \chi_R(p)=\psi_R(p-k) \]

На двумерной карте показана плотность \(|\Psi(p_A,p_B)|^2\) в импульсах двух мишеней. Два естественных центра этой картины:

\[ A\ \text{сработал:}\quad (p_A,p_B)\simeq(k,0), \qquad B\ \text{сработал:}\quad (p_A,p_B)\simeq(0,k). \]

Здесь \(p_A,p_B\) — финальные импульсы мишеней, то есть сокращённая запись для \(p'_A,p'_B\).

Когда возникает обычная картина

Если сигнал сильный, состояния «сработал» и «не сработал» почти ортогональны.

\[ \langle\chi_A|A\rangle\simeq0, \qquad \langle B|\chi_B\rangle\simeq0 \]

\[ \langle\Psi_f^{(1)}|\Psi_f^{(1)}\rangle \simeq \langle\chi_A|\chi_A\rangle+ \langle\chi_B|\chi_B\rangle \]

\[ P\simeq P_A+P_B \]

Когда возникает когерентный отклик

Если изменения малы или мишени работают как один протяжённый объект, cross term сохраняется.

\[ \langle\chi_A|A\rangle\langle B|\chi_B\rangle\neq0 \]

\[ P\neq P_A+P_B \]

\[ \text{это режим когерентного рассеяния, дифракции и интерференции} \]

Главный урок

Точечная картина не была заложена в начало. Она появилась как предел.

\[ \text{частица}\neq\text{точка} \]

\[ \text{один сильный сигнал}\Rightarrow\text{почти ортогональные конечные состояния} \]

\[ \text{волновое описание само даёт предел: сработал A или сработал B} \]

Короткое резюме

• В первом порядке есть два spectator-канала: поглощение на A или поглощение на B.
• Финальная волновая функция содержит оба слагаемых.
• Если слагаемые не перекрываются, вероятности складываются как независимые альтернативы.
• Если слагаемые перекрываются, возникает когерентный отклик.
• Никакого превращения волны в точку в формулах не появилось.