Вакуум квантового поля · лекция 1
У частицы может быть координатная волновая функция \(\psi(\mathbf x)\). Что играет её роль для вакуума квантового поля?
Абстрактное состояние частицы обозначим
\[ |\psi(t)\rangle. \]
Сам по себе этот вектор ещё не является функцией координаты.
Состояние с определённой координатой удовлетворяет
\[ \widehat{\mathbf x}|\mathbf x\rangle = \mathbf x|\mathbf x\rangle. \]
Вектор \(|\mathbf x\rangle\) — элемент выбранного базиса.
Проекция состояния на координатный базис:
\[ \boxed{ \psi(\mathbf x,t) = \langle\mathbf x|\psi(t)\rangle }. \]
Она сопоставляет каждой точке комплексную амплитуду.
Квадрат модуля определяет плотность вероятности:
\[ P(\mathbf x,t)=|\psi(\mathbf x,t)|^2. \]
Это свойство представления состояния, а не новая динамическая переменная.
В фиксированный момент времени конфигурация скалярного поля — целая функция
\[ \varphi(\mathbf x). \]
На конечной решётке это просто набор чисел:
\[ \boldsymbol\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_N). \]
В континуальном пределе число координат становится бесконечным.
Определим состояние \(|\varphi\rangle\) условием
\[ \widehat\phi(\mathbf x)|\varphi\rangle = \varphi(\mathbf x)|\varphi\rangle. \]
\(\widehat\phi\) — оператор, а \(\varphi\) — числовая конфигурация.
Для состояния поля \(|\Psi(t)\rangle\):
\[ \boxed{ \Psi[\varphi,t] = \langle\varphi|\Psi(t)\rangle }. \]
Аргументом служит не число, а вся функция \(\varphi(\mathbf x)\).
Для вакуумного состояния \(|0\rangle\):
\[ \boxed{ \Psi_0[\varphi] = \langle\varphi|0\rangle }. \]
Это амплитуда целой конфигурации поля в вакууме.
На решётке правило Борна принимает обычный многомерный вид:
\[ P_0(\boldsymbol\varphi) = |\Psi_0(\boldsymbol\varphi)|^2. \]
В континууме используется формальная плотность вероятности \(|\Psi_0[\varphi]|^2\mathcal D\varphi\).
Вакуум — собственное состояние гамильтониана:
\[ \widehat H|0\rangle=E_0|0\rangle. \]
Поэтому
\[ \Psi_0[\varphi,t] = e^{-iE_0t}\Psi_0[\varphi]. \]
Общая фаза сокращается в вероятности:
\[ |\Psi_0[\varphi,t]|^2 = |\Psi_0[\varphi]|^2. \]
Вакуумное распределение конфигураций стационарно.
Гамильтониан гармонического осциллятора:
\[ \widehat H = \frac{\widehat p^2}{2} + \frac{\omega^2\widehat q^2}{2}. \]
Классический минимум энергии находится при \(q=p=0\). Но квантовое основное состояние не может иметь одновременно точные \(q\) и \(p\).
Основное состояние уничтожается оператором \(\widehat a\):
\[ \widehat a|0\rangle=0, \]
\[ \widehat a = \sqrt{\frac{\omega}{2}}\,q + \frac{1}{\sqrt{2\omega}}\frac{d}{dq}, \qquad \hbar=1. \]
В координатном представлении:
\[ \left( \omega q+\frac{d}{dq} \right)\psi_0(q)=0, \]
то есть
\[ \frac{d\psi_0}{dq} = -\omega q\psi_0. \]
\[ \boxed{ \psi_0(q) = \left(\frac{\omega}{\pi}\right)^{1/4} e^{-\omega q^2/2} }. \]
Это распределение амплитуд, а не состояние с \(q=0\).
\[ \langle q\rangle=0, \qquad \boxed{\langle q^2\rangle=\frac{1}{2\omega}}. \]
Нулевое среднее не означает отсутствия разброса.
На пространственном срезе
\[ H = \frac12\int d^3x \left[ \pi^2+(\nabla\varphi)^2+m^2\varphi^2 \right]. \]
Чтобы не скрывать бесконечности, начнём с одномерного ящика длины \(L\):
\[ \varphi(x) = \frac{q_0}{\sqrt L} + \sqrt{\frac{2}{L}} \sum_{n=1}^{\infty} \left[ q_{n,c}\cos(k_nx)+q_{n,s}\sin(k_nx) \right], \]
\[ k_n=\frac{2\pi n}{L}. \]
Коэффициенты \(q_{n,c}\) и \(q_{n,s}\) — амплитуды пространственных волн.
Два набора содержат одну и ту же информацию:
\[ \varphi(x) \quad\longleftrightarrow\quad \{q_0,q_{1,c},q_{1,s},\ldots\}. \]
Преобразование Фурье меняет координаты в пространстве конфигураций.
Ортогональность синусов и косинусов даёт
\[ H = \frac12(p_0^2+m^2q_0^2) + \frac12\sum_{n\geq1,\lambda=c,s} \left(p_{n,\lambda}^2+\omega_n^2q_{n,\lambda}^2\right). \]
\[ \boxed{ \omega_n=\sqrt{k_n^2+m^2} }. \]
В трёх измерениях индекс \(n\) заменяется волновым вектором \(\mathbf k\).
Каждая нормальная мода — квантовый гармонический осциллятор:
\[ \boxed{ \text{свободное поле} = \text{набор независимых осцилляторов} }. \]
Его координата \(q_{\mathbf k}\) — амплитуда волны, а не положение частицы.
Каждая мода находится в основном состоянии:
\[ \psi_{0,\mathbf k}(q_{\mathbf k}) \propto e^{-\omega_{\mathbf k}q_{\mathbf k}^2/2}. \]
Поэтому для конечного числа мод
\[ \boxed{ \Psi_0(\{q_{\mathbf k}\}) \propto \exp\left[ -\frac12\sum_{\mathbf k} \omega_{\mathbf k}q_{\mathbf k}^2 \right] }. \]
Это многомерное гауссово состояние.
В комплексном фурье-базисе вещественного поля
\[ \varphi_{-\mathbf k}=\varphi_{\mathbf k}^{*}. \]
Волновой функционал принимает вид
\[ \boxed{ \Psi_0[\varphi] = \mathcal N \exp\left[ -\frac12 \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_{\mathbf k} \varphi_{\mathbf k}\varphi_{-\mathbf k} \right] }. \]
Из правила Борна следует
\[ \langle|\varphi_{\mathbf k}|^2\rangle = \frac{1}{2\omega_{\mathbf k}}. \]
Поэтому одну конфигурацию можно получить так:
Одна конфигурация — возможный результат полевого измерения. Вакуум — распределение всех таких конфигураций.
И белый гауссов шум, и вакуум свободного поля дают случайные конфигурации с
\[ \langle\varphi(\mathbf x)\rangle=0. \]
После одинаковой нормировки их одноточечные гистограммы также гауссовы.
Какая статистика обнаружит пространственную структуру?
Гауссов белый шум задаётся независимыми величинами
\[ \eta_i\sim\mathcal N(0,\sigma^2). \]
Гауссовость и белизна — разные свойства.
Независимость узлов означает
\[ \boxed{ \langle\eta_i\eta_j\rangle = \sigma^2\delta_{ij} }. \]
В разных точках корреляция равна нулю.
Фурье-образ дельта-функции постоянен:
\[ \boxed{ P_{\mathrm{white}}(\mathbf k) = \text{const} }. \]
Одинаковую среднюю мощность получает каждая мода.
Для гауссова шума они строятся из парных корреляторов. Например,
\[ \langle\eta_1\eta_2\eta_3\eta_4\rangle = C_{12}C_{34}+C_{13}C_{24}+C_{14}C_{23}. \]
Обе одноточечные гистограммы должны быть близки к одной гауссиане.
Для белого шума корреляция должна исчезнуть уже при первом ненулевом расстоянии.
Белый спектр плоский; вакуумный спектр меняется как 1/(2ωk).
Периодическая решётка 32 × 32, a = 1. Обе модели нормированы на E[φ²] = 1. Гистограммы содержат 128 конфигураций и 112 бинов; коррелятор и спектр усреднены по 64 конфигурациям. Для вакуума используется решёточная дисперсия ωk² = m² + 4 Σj sin²(kja/2).
Для свободного вакуума
\[ \boxed{ P_{\mathrm{vac}}(\mathbf k) = \frac{1}{2\omega_{\mathbf k}} = \frac{1}{2\sqrt{\mathbf k^2+m^2}} }. \]
Поэтому равновременной коррелятор равен
\[ \boxed{ C_{\mathrm{vac}}(\mathbf r) = \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}} {2\sqrt{\mathbf k^2+m^2}} }. \]
Он не сводится к дельта-функции.
Для набора конфигураций
\[ \widehat C(\mathbf r) = \frac{1}{N_{\rm cfg}N_{\rm sites}} \sum_{a,\mathbf x} \varphi_a(\mathbf x) \varphi_a(\mathbf x+\mathbf r). \]
Это тот же путь, которым исследуют экспериментальные данные.
В свободной теории \(C(\mathbf r)\) вычисляется аналитически как преобразование Фурье спектра \(1/(2\omega_{\mathbf k})\).
Выборки не заменяют вычисление — они проверяют оценку.
\[ C_{\rm white}(\mathbf r) = \sigma^2\delta^{(3)}(\mathbf r), \qquad P_{\rm white}(\mathbf k)=\sigma^2. \]
Корреляция исчезает вне совпадающих точек.
\[ C_{\rm vac}(\mathbf r)\neq0 \quad\text{при}\quad \mathbf r\neq0. \]
Свободный вакуум — гауссово, но не белое поле на равновременном срезе.
В трёх пространственных измерениях
\[ C_{\mathrm{vac}}(0) = \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf k}} \]
расходится при больших \(|\mathbf k|\).
Пространственная структура свободного вакуума содержится не в его среднем поле, а в корреляторах.
Первая лекция рассматривала один пространственный срез.
Следующий вопрос:
\[ \langle0| \widehat\phi(\mathbf x,t) \widehat\phi(\mathbf y,t') |0\rangle. \]
Как стационарный вакуум приобретает нетривиальную структуру в пространстве-времени?