Фермионное поле и эффект Унру

Почему температура та же, а статистика другая

Д. В. Наумов

Главный вопрос

Что изменится после скалярного поля?

  • Для бозонной моды мы получили \[ n_B(\Omega)=\frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}-1}. \]
  • Для фермионного поля принцип Паули разрешает только \[ N_\Omega=0\quad\text{или}\quad1. \]
  • Изменится распределение частиц и энтропия одной моды.
  • Но температура останется той же: \[ \boxed{T_U=\frac{a}{2\pi}}. \]

Маршрут лекции

  1. Квантуем поле Дирака и вспоминаем антикоммутационные соотношения.
  2. Смешиваем частицу в одном клине с античастицей в другом.
  3. Записываем вакуум Минковского как двухуровневое запутанное состояние.
  4. Берём частичный след по левому клину.
  5. Читаем из \(\rho_R\) распределение Ферми–Дирака, температуру и энтропию.

Поле Дирака

Разложение поля

В инерциальном базисе свободное поле Дирака имеет вид \[ \psi(x)= \sum_s\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3\sqrt{2E_{\mathbf p}}} \left[ c_{\mathbf p s}u_s(\mathbf p)e^{-ipx} +d^\dagger_{\mathbf p s}v_s(\mathbf p)e^{ipx} \right]. \]

  • \(c\) уничтожает частицу, \(d\) уничтожает античастицу.
  • Положительные и отрицательные частоты снова зависят от выбора времени.
  • Поэтому риндлеровские операторы не совпадают с инерциальными.

Антикоммутация и принцип Паули

  • Для каждой моды \[ \{c,c^\dagger\}=1, \qquad \{d,d^\dagger\}=1, \qquad \{c,c\}=\{d,d\}=0. \]
  • Отсюда \[ (c^\dagger)^2=(d^\dagger)^2=0. \]
  • Одна фермионная мода — двухуровневая система: \[ |0\rangle,\qquad |1\rangle=c^\dagger|0\rangle. \]

Энергия одной моды

  • После вычитания вакуумной константы \[ H_\Omega=\Omega N_\Omega, \qquad N_\Omega=c_\Omega^\dagger c_\Omega. \]
  • Спектр конечен: \[ E_0=0,\qquad E_1=\Omega. \]
  • Поэтому статистическая сумма одной фермионной моды \[ \boxed{Z_F=1+e^{-\beta\Omega}}. \]

Риндлеровские моды

Два клина и частица–античастица

  • Правый и левый клинья имеют собственные наборы операторов: \[ c_{\Omega,R},\ d_{\Omega,R}, \qquad c_{\Omega,L},\ d_{\Omega,L}. \]
  • В одном из независимых секторов частица в \(R\) спаривается с античастицей в \(L\).
  • Другой сектор получается перестановкой \[ R\leftrightarrow L,\qquad c\leftrightarrow d. \]

Фермионное преобразование Боголюбова

Для одной парной моды введём оператор Унру \[ C_{\Omega,R} =\cos r_\Omega\,c_{\Omega,R} -\sin r_\Omega\,d^\dagger_{\Omega,L}, \] где \[ \boxed{\tan r_\Omega=e^{-\pi\Omega/a}}. \]

  • \(C_{\Omega,R}\) уничтожает вакуум Минковского.
  • Это оператор специальной глобальной моды Унру, а не одной плоской волны Минковского.

Почему синус и косинус?

  • Антикоммутационные соотношения должны сохраниться: \[ \{C_{\Omega,R},C^\dagger_{\Omega,R}\}=1. \]
  • Поэтому коэффициенты удовлетворяют \[ \boxed{\cos^2r_\Omega+\sin^2r_\Omega=1}. \]
  • Для бозонов было гиперболическое условие \[ |u_\Omega|^2-|v_\Omega|^2=1. \]
  • Уже здесь видна разница между статистиками.

Вакуум как запутанная пара

Анзац для одной парной моды

Из-за принципа Паули достаточно двух состояний: \[ |0_M\rangle_\Omega =A_\Omega|0_R0_L\rangle +B_\Omega|1_R^+1_L^-\rangle. \]

  • Знак \(+\) отмечает частицу в \(R\).
  • Знак \(-\) отмечает античастицу в \(L\).
  • Фаза \(B_\Omega\) зависит от соглашений и не повлияет на \(\rho_R\).

Вакуумное условие

  • Требуем \[ C_{\Omega,R}|0_M\rangle_\Omega=0. \]
  • После действия операторов остаётся один общий базисный вектор, поэтому \[ B_\Omega\cos r_\Omega-A_\Omega\sin r_\Omega=0. \]
  • Следовательно, \[ \frac{B_\Omega}{A_\Omega}=\tan r_\Omega=e^{-\pi\Omega/a}. \]

Нормированный вакуум

Из \(|A_\Omega|^2+|B_\Omega|^2=1\) получаем \[ \boxed{ |0_M\rangle_\Omega =\cos r_\Omega|0_R0_L\rangle +\sin r_\Omega|1_R^+1_L^-\rangle } \] и \[ \cos^2r_\Omega=\frac{1}{1+e^{-2\pi\Omega/a}}, \qquad \sin^2r_\Omega=\frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}+1}. \]

Частичный след

Убираем недоступный левый клин

  • Полное состояние чистое: \[ \rho_M^\Omega=|0_M\rangle_\Omega\langle0_M|, \qquad S(\rho_M^\Omega)=0. \]
  • Ускоренный наблюдатель в \(R\) использует \[ \rho_R^\Omega=\operatorname{Tr}_L\rho_M^\Omega. \]
  • Ортогональность \(\langle0_L|1_L\rangle=0\) уничтожает недиагональные члены.

Редуцированная матрица плотности

Получаем \[ \boxed{ \rho_R^\Omega =\cos^2r_\Omega|0_R\rangle\langle0_R| +\sin^2r_\Omega|1_R\rangle\langle1_R| }. \]

Подставляя \(\tan r_\Omega=e^{-\pi\Omega/a}\), \[ \boxed{ \rho_R^\Omega =\frac{|0_R\rangle\langle0_R| +e^{-2\pi\Omega/a}|1_R\rangle\langle1_R|} {1+e^{-2\pi\Omega/a}} }. \]

Тепловой вид

  • Матрица имеет канонический вид \[ \rho_R^\Omega =\frac{e^{-\beta_U\Omega N_\Omega}}{Z_F}, \qquad Z_F=1+e^{-\beta_U\Omega}. \]
  • Сравнение коэффициентов даёт \[ \boxed{\beta_U=\frac{2\pi}{a}}, \qquad \boxed{T_U=\frac{a}{2\pi}}. \]
  • Температура совпадает с бозонной: геометрия горизонта не знает о спине поля.

Число фермионов

  • Среднее число частиц в одной моде: \[ n_F(\Omega)=\operatorname{Tr}(\rho_R^\Omega N_\Omega) =\sin^2r_\Omega. \]
  • Поэтому \[ \boxed{ n_F(\Omega)=\frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}+1} }. \]
  • Знак «плюс» в знаменателе — следствие принципа Паули.

От запутанности к температуре

Обозначим \[ x\equiv\beta_U\Omega=\frac{2\pi\Omega}{a}. \]

Энтропия

Энтропия одной фермионной моды

  • Собственные значения \(\rho_R^\Omega\) равны \(1-n_F\) и \(n_F\).
  • Поэтому \[ \boxed{ s_F(\Omega) =-(1-n_F)\ln(1-n_F)-n_F\ln n_F }. \]
  • Это бинарная энтропия: одна мода содержит не более одного фермиона.

Два предела

  • Малое ускорение, \(a\to0\): \[ x\to\infty,\qquad n_F\to0,\qquad s_F\to0. \]
  • Большое ускорение, \(a\to\infty\) при фиксированной \(\Omega\): \[ x\to0,\qquad n_F\to\frac12,\qquad s_F\to\ln2. \]
  • Энтропия одной фермионной моды ограничена сверху принципом Паули.

Где здесь возникает энтропия?

  • Не из-за неизвестного микросостояния полного поля: \[ S(\rho_M)=0. \]
  • Она появляется из-за недоступности левого клина: \[ S(\rho_R)=S(\operatorname{Tr}_L\rho_M)>0. \]
  • Тот же параметр запутывания \(e^{-\pi\Omega/a}\) задаёт и вероятности, и температуру.
  • Температура — форма редуцированного состояния, а энтропия — цена потери доступа.

Бозоны и фермионы

Сравнение одной моды

Бозон Фермион
Заполнения \(0,1,2,\ldots\) \(0,1\)
\(Z\) \((1-e^{-x})^{-1}\) \(1+e^{-x}\)
\(n\) \((e^x-1)^{-1}\) \((e^x+1)^{-1}\)
\(s(n)\) \((1+n)\ln(1+n)-n\ln n\) \(-(1-n)\ln(1-n)-n\ln n\)
\(T_U\) \(a/(2\pi)\) \(a/(2\pi)\)

Почему температура универсальна?

  • Ограничение вакуума Минковского правым клином имеет вид \[ \rho_R\propto e^{-2\pi K}, \] где \(K\) — генератор лоренцевских бустов.
  • На мировой линии с собственным ускорением \(a\) время буста связано с собственным временем множителем \(a\).
  • Поэтому \[ \rho_R\propto e^{-(2\pi/a)H_R}. \]
  • Статистика определяет спектр \(H_R\) и допустимые заполнения, но не геометрический коэффициент \(2\pi/a\).

Важная оговорка о детекторе

  • Редуцированное состояние поля точно термально и подчиняется статистике Ферми–Дирака.
  • Конкретный детектор должен быть связан с полем допустимым локальным оператором, например билинеаром \(\bar\psi\psi\).
  • Размерность пространства-времени и вид связи меняют спектральный множитель в скорости переходов.
  • Неизменным остаётся детальный баланс \[ \frac{\dot{\mathcal F}(+\Omega)}{\dot{\mathcal F}(-\Omega)} =e^{-2\pi\Omega/a}, \] который и фиксирует температуру Унру.

Спин и полный вакуум

  • Мы подробно разобрали один сектор «частица в \(R\) — античастица в \(L\)».
  • Поле Дирака содержит также сопряжённый сектор и спиновые метки.
  • Полный вакуум строится как произведение таких парных секторов.
  • После частичного следа спиновые детали базиса исчезают из теплового оператора: \[ \boxed{\rho_R=Z^{-1}e^{-(2\pi/a)H_R}}. \]

Итог

Что важно запомнить

  1. Вакуум Минковского запутывает фермионные моды противоположных клиньев.
  2. Принцип Паули обрывает сумму уже на \(n=1\).
  3. Частичный след даёт \[ n_F(\Omega)=\frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}+1}. \]
  4. Энтропия одной моды — бинарная и не превосходит \(\ln2\).
  5. Для бозонов и фермионов \[ \boxed{T_U=\frac{\hbar a}{2\pi k_B c}}. \]

Для дальнейшего чтения