Работаем в \(1+1\) и используем \[ c=\hbar=k_B=1. \]
Безмассовое вещественное скалярное поле \[ \phi(t,x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dp}{2\pi}\, \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \left[ a_p e^{-i\omega_p t+ipx} + a_p^\dagger e^{+i\omega_p t-ipx} \right], \qquad \omega_p=|p|. \]
Коммутационные соотношения: \[ [a_p,a_q^\dagger] = 2\pi\delta(p-q), \qquad [a_p,a_q]=0. \]
Наблюдатель движется по мировой линии \[ x^\mu=x^\mu(\tau)=(t(\tau),x(\tau)). \]
Он регистрирует поле вдоль своей траектории: \[ \phi(\tau) = \phi(t(\tau),x(\tau)). \]
Регистрируемые наблюдателем частоты определяются фурье-разложением по его собственному времени: \[ g(\Omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} d\tau\, e^{i\Omega\tau} \phi(\tau). \]
Рассмотрим \[ C(\Omega,\Omega') = \left\langle g^\dagger(\Omega) g(\Omega') \right\rangle, \qquad \Omega,\Omega'>0. \]
Это корреляция фурье-компонент сигнала поля.
Если состояние стационарно относительно времени наблюдателя, то разные частоты не коррелируют: \[ C(\Omega,\Omega') = 2\pi\delta(\Omega-\Omega')S(\Omega). \]
\(S(\Omega)\) — спектральная плотность мощности сигнала.
Пусть наблюдатель покоится: \[ t=\tau, \qquad x=0. \]
Тогда \[ \phi(\tau) =\int\frac{dp}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}\left[ a_p e^{-i\omega_p\tau}+a_p^\dagger e^{+i\omega_p\tau}\right]. \]
Для \(\Omega>0\): \[ g(\Omega) = \int d\tau\,e^{i\Omega\tau}\phi(\tau) = \frac{a_{\Omega}+a_{-\Omega}}{\sqrt{2\Omega}}. \]
Вакуум Минковского: \[ a_p|0_M\rangle=0. \]
Поэтому \[ \langle 0_M| a_p^\dagger a_q |0_M\rangle=0. \]
Следовательно, \[ \boxed{\langle 0_M|g^\dagger(\Omega)g(\Omega') |0_M\rangle=0. } \]
Инерциальный наблюдатель не видит частиц в вакууме Минковского.
Пусть \[ \langle a_p^\dagger a_q\rangle = 2\pi n(\omega_p)\delta(p-q). \]
Тогда \[ \langle g^\dagger(\Omega) g(\Omega') \rangle = 2\pi\delta(\Omega-\Omega') \frac{n(\Omega)}{\Omega}. \]
Значит \[ \boxed{ S(\Omega) = \frac{n(\Omega)}{\Omega}. } \]
Для теплового состояния: \[ n(\Omega) = \frac{1}{e^{\beta\Omega}-1}, \qquad \beta=\frac{1}{T}. \]
Тогда \[ \boxed{ S(\Omega) = \frac{1}{\Omega} \frac{1}{e^{\beta\Omega}-1}. } \]
Это обычный бозе-эйнштейновский спектр.
Равномерно ускоренный наблюдатель: \[ t(\tau)=\frac{1}{a}\sinh a\tau, \qquad x(\tau)=\frac{1}{a}\cosh a\tau. \]
Здесь \(a\) — собственное ускорение.
Наблюдатель анализирует поле по своему собственному времени: \[ g(\Omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} d\tau\, e^{i\Omega\tau} \phi(t(\tau),x(\tau)). \]
Подставляем разложение поля: \[ g(\Omega) = \int \frac{dp}{2\pi} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \left[ a_p I_p(\Omega) + a_p^\dagger J_p(\Omega) \right]. \]
Здесь \[ \begin{aligned} I_p(\Omega) & = \int d\tau\, e^{i\Omega\tau} e^{-i\omega_p t(\tau)+ipx(\tau)},\\ J_p(\Omega) & = \int d\tau\, e^{i\Omega\tau} e^{+i\omega_p t(\tau)-ipx(\tau)}. \end{aligned} \]
В отличие от инерциального случая, положительная частота по \(\tau\) содержит и \(a_p\), и \(a_p^\dagger\).
В корреляторе \[ \langle 0_M| g^\dagger(\Omega) g(\Omega') |0_M\rangle \] встречаются четыре типа вкладов: \[ \begin{aligned} &\propto I_q(\Omega') I_p^*(\Omega) \langle 0_M|a_p^\dagger a_q |0_M\rangle = 0,\\ &\propto J_q(\Omega') J_p^*(\Omega) \langle 0_M|a_p a_q^\dagger |0_M\rangle \ne 0,\\ &\propto I_q(\Omega') J_p^*(\Omega) \langle 0_M|a_p a_q |0_M\rangle = 0,\\ &\propto J_q(\Omega') I_p^*(\Omega) \langle 0_M|a_p^\dagger a_q^\dagger |0_M\rangle = 0. \end{aligned} \]
Поэтому нужно вычислить только \(J_p(\Omega)\).
Запишем \[ p=\epsilon\omega, \qquad \epsilon=\pm1, \qquad \omega>0. \]
Для коэффициента при \(a_p^\dagger\): \[ J_\epsilon(\Omega,\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} d\tau\, e^{i\Omega\tau} e^{-i\epsilon\frac{\omega}{a}e^{-\epsilon a\tau}} \]
Этот интеграл равен \[ \boxed{ J_\epsilon(\Omega,\omega) = \frac{1}{a} \Gamma\left(-i\epsilon\frac{\Omega}{a}\right) \left(\frac{\omega}{a}\right)^{i\epsilon\Omega/a} e^{-\pi\Omega/(2a)}. } \]
Получаем \[ \langle 0_M| g^\dagger(\Omega) g(\Omega') |0_M\rangle = 2\pi\delta(\Omega-\Omega')S(\Omega). \]
Где \[ S(\Omega) = \frac{1}{\Omega} \frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}-1}. \]
Минковский вакуум выглядит как тепловое состояние \[ \boxed{n(\Omega)=\frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}-1}. } \]
Сравниваем с тепловым инерциальным спектром: \[ S(\Omega) = \frac{1}{\Omega} \frac{1}{e^{\beta\Omega}-1}. \]
У ускоренного наблюдателя: \[ S(\Omega) = \frac{1}{\Omega} \frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}-1}. \]
Поэтому \[ \beta=\frac{2\pi}{a}, \qquad T=\frac{a}{2\pi}. \]
Для каждой риндлеровской частоты: \(n_U(\Omega)=\frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}-1}\).
Энтропия одной бозонной моды: \[ s_U(\Omega)=(1+n_U)\ln(1+n_U)-n_U\ln n_U. \]
Подставляя \(n_U(\Omega)\), получаем: \[ \boxed{s_U(\Omega) = \frac{2\pi\Omega/a}{e^{2\pi\Omega/a}-1}-\ln\left(1-e^{-2\pi\Omega/a} \right)} \]
При \(a\to 0\) энтропия исчезает: \(\boxed{s_U(\Omega) \to 0}\).
Пространство Минковского можно разделить на два клина Риндлера: \[ R: x>|t|, \qquad L: x<-|t|. \]
Равномерно ускоренный наблюдатель в правом клине не имеет доступа к левому клину: \[ \rho_R = \mathrm{Tr}_L\, |0_M\rangle\langle 0_M|. \]
Минковский вакуум не факторизуется: \[ |0_M\rangle \ne |0_R\rangle\otimes |0_L\rangle. \]
Для каждой риндлеровской частоты он имеет вид запутанного состояния: \[ |0_M\rangle_\Omega = \sqrt{1-e^{-2\pi\Omega/a}} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\pi\Omega n/a} |n_\Omega^R\rangle |n_\Omega^L\rangle. \]
Если левый клин недоступен, правый клин описывается смешанным состоянием: \[ \rho_R^\Omega = (1-e^{-2\pi\Omega/a}) \sum_{n=0}^{\infty} e^{-2\pi\Omega n/a} |n_\Omega^R\rangle\langle n_\Omega^R|. \]
Последняя формула имеет канонический вид: \[ \rho_R^\Omega = \frac{1}{Z_\Omega} e^{-\beta_U \Omega N_\Omega^R}. \]
Сравнивая с \[ \rho_\beta = (1-e^{-\beta\Omega}) \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta\Omega n} |n\rangle\langle n|, \]
получаем \[ \beta_U=\frac{2\pi}{a}. \]
Это не означает, что в вакууме Минковского есть обычный поток частиц.
Полное состояние остаётся чистым: \[ \rho_M=|0_M\rangle\langle 0_M|, \qquad S_M=0. \]
Смешанным становится только редуцированное состояние правого клина: \[ \rho_R=\mathrm{Tr}_L\,\rho_M. \]
Поэтому энтропия ускоренного наблюдателя — это энтропия запутанности между клиньями Риндлера.
Для одной риндлеровской частоты вводим оператор Унру: \[ d_\Omega^R=u_\Omega b_\Omega^R-v_\Omega b_\Omega^{L\dagger}. \]
Коэффициенты Боголюбова: \[ u_\Omega = \frac{1}{\sqrt{1-e^{-2\pi\Omega/a}}}, \qquad v_\Omega = \frac{e^{-\pi\Omega/a}}{\sqrt{1-e^{-2\pi\Omega/a}}}. \]
Главное отношение: \[ \frac{v_\Omega}{u_\Omega} = e^{-\pi\Omega/a}. \]
Оператор Унру уничтожает вакуум Минковского: \[ d_\Omega^R |0_M\rangle=0. \]
Подставляем связь с риндлеровскими операторами: \[ \left(u_\Omega b_\Omega^R-v_\Omega b_\Omega^{L\dagger}\right)|0_M\rangle=0. \]
Поэтому: \[ b_\Omega^R |0_M\rangle = \frac{v_\Omega}{u_\Omega} b_\Omega^{L\dagger}|0_M\rangle = e^{-\pi\Omega/a} b_\Omega^{L\dagger}|0_M\rangle. \]
Для одной частоты пишем анзац: \[ |0_M\rangle_\Omega = \sum_{n=0}^{\infty} C_n |n_\Omega^L\rangle |n_\Omega^R\rangle. \]
Оператор в правом клине: \[ b_\Omega^R |n_\Omega^L\rangle |n_\Omega^R\rangle = \sqrt n |n_\Omega^L\rangle |n-1_\Omega^R\rangle. \]
Оператор рождения в левом клине: \[ b_\Omega^{L\dagger} |n_\Omega^L\rangle |n_\Omega^R\rangle = \sqrt{n+1} |n+1_\Omega^L\rangle |n_\Omega^R\rangle. \]
Подставляем анзац: \[ b_\Omega^R |0_M\rangle_\Omega = e^{-\pi\Omega/a} b_\Omega^{L\dagger}|0_M\rangle_\Omega. \]
Получаем: \[ \sum_{n=1}^{\infty} C_n\sqrt n |n_\Omega^L\rangle |n-1_\Omega^R\rangle = e^{-\pi\Omega/a} \sum_{n=0}^{\infty} C_n\sqrt{n+1} |n+1_\Omega^L\rangle |n_\Omega^R\rangle. \]
Сравнение коэффициентов даёт: \[ C_n = e^{-\pi\Omega/a} C_{n-1}, \qquad C_n = e^{-n\pi\Omega/a}C_0. \]
Нормировка состояния: \[ \langle 0_M|0_M\rangle_\Omega=\sum_{n=0}^{\infty}|C_n|^2=1. \]
Подставляем найденные коэффициенты: \[ |C_0|^2\sum_{n=0}^{\infty}e^{-2\pi\Omega n/a}=\frac{|C_0|^2}{1-e^{-2\pi\Omega/a}}=1. \]
Поэтому: \[ C_0 = \sqrt{1-e^{-2\pi\Omega/a}}. \]
Для одной частоты: \[ \boxed{ |0_M\rangle_\Omega = \sqrt{1-e^{-2\pi\Omega/a}} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\pi\Omega n/a} |n_\Omega^L\rangle |n_\Omega^R\rangle } \]
Это двухмодовое запутанное состояние: \[ n_L=n_R. \]
Полный вакуум — произведение по частотам: \[ |0_M\rangle = \prod_{\Omega} |0_M\rangle_\Omega. \]