Эффект Унру для плоской волны

Д. В. Наумов

Система единиц

Система единиц

  • Удобно использовать систему единиц, в которой \[ c=\hslash=k_B=1 \]

Суть эффекта Унру

Вакуум в квантовой теории поля

  • Вакуум - состояние с нулевым числом частиц
  • Во всех инерциальных системах вакуум - это одно и то же состояние
  • А что если наблюдатель неинерциальный?
  • Мы придём к удивительному результату: для ускоренного наблюдателя вакуум будет выглядеть как тепловое состояние с определённой температурой.
  • Рассмотрим это шаг за шагом, начиная с простейшей модели.

К чему мы придём?

  • Равномерно ускоряемый наблюдатель видит частицы из вакуума Минковского

  • Распределение частиц по энергиями даётся спектром

    • Бозе-Эйнштейна (для бозонов),
    • Ферми-Дирака (для фермионов),

  • Температура частиц, которую видит ускоренный наблюдатель: \[ T_U=\frac{\hbar a}{2\pi k_B c} = \frac{a}{2\pi}. \]

  • где \(a\) — собственное ускорение детектора, \(k_B\) — постоянная Больцмана, \(c\) — скорость света.

Что это?

  • Этот эффект называется эффектом Унру по имени Вильяма Унру (1976).
  • Он показывает, что понятие частицы в квантовой теории поля зависит от наблюдателя.
  • Годом ранее в 1975 году он был обнаружен независимо Полом Дэвисом.

Насколько велик эффект Унру?

  • Температура Унру \[ T_U \approx 4.06 \times 10^{-21} \, \text{К}\times\frac{a}{\text{m}/\text{s}^2} \]

На что это похоже?

  • Это похоже на температуру излучения Хокинга: \[ T_H=\frac{\hbar g}{2\pi k_B c}=\frac{g}{2\pi}, \] где \(g\) — ускорение свободного падения на горизонте черной дыры.
  • С учётом принципа эквивалентности эффекты Унру и Хокинга родственные, но не идентичные.

Плоская волна

Рассмотрим плоскую волну

  • Рассмотрим безмассовую плоскую волну вдоль оси \(x\): \[ \phi(t,x)\sim e^{-i\omega_K t+iKx}. \]
  • Здесь \(\omega_K\) — частота, а \(K\) — волновой вектор: \[ K=\pm \omega_K. \]
  • В этом педагогическом выводе волна лежит на массовой поверхности.

Частота в мгновенно сопутствующей системе

  • Преобразование Лоренца: \[ \omega'_K(\tau) = \gamma(\tau)\left(\omega_K-Kv(\tau)\right). \]
  • Волна вдоль ускорения: \(K=+\omega_K\). \[ \omega'_K(\tau) = \gamma(\tau)\omega_K\left(1-v(\tau)\right) = \omega_K\frac{1-\tanh{a\tau}}{\sqrt{1-\tanh^2{a\tau}}} =\omega_K e^{-a\tau}. \]
  • Волна против ускорения: \(K=-\omega_K\). \[ \omega'_K(\tau) = \gamma(\tau)\omega_K\left(1+v(\tau)\right) = \omega_K\frac{1+\tanh{a\tau}}{\sqrt{1-\tanh^2{a\tau}}} =\omega_K e^{+a\tau}. \]

Частота в мгновенно сопутствующей системе

  • Волна вдоль ускорения: \(K=+\omega_K\). \[ \boxed{ \omega'_K(\tau) = \omega_K e^{-a\tau}} \]
  • Волна против ускорения: \(K=-\omega_K\). \[ \boxed{ \omega'_K(\tau) = \omega_K e^{+a\tau}} \]
  • Для малых значений \(a\tau\) - это обычный эффект Доплера: \[ \omega'_K(\tau) \approx \omega_K(1\mp a\tau). \]

Эффект Доплера для инерциального наблюдателя

  • Плоская волна: \(\phi(t,x)\sim e^{-i\omega_K t+iKx}\)
  • и инерциального наблюдателя: \[ t(\tau)=\gamma\tau, \quad x(\tau)=\gamma v \tau. \]
  • Фаза на мировой линии наблюдателя (скорость \(v\)): \[ \Phi(\tau)=K x(\tau)-\omega_K t(\tau)=-\gamma\tau(\omega_K-Kv). \]
  • Мгновенная частота: \[ \omega'(\tau)=-\frac{d\Phi}{d\tau}=\gamma(\omega_K-Kv)=\text{const}. \]

Эффект Доплера для неинерциального наблюдателя

  • Волна вдоль ускорения: \(K=+\omega_K\). \[ \boxed{ \omega'_K(\tau) = \omega_K e^{-a\tau}} \]
  • Волна против ускорения: \(K=-\omega_K\). \[ \boxed{ \omega'_K(\tau) = \omega_K e^{+a\tau}} \]
  • Частота меняется со временем \(\tau\)!
  • Наблюдается спектр частот.

Фурье-спектр детектора

  • Фурье-разложение сигнала детектора: \[ f(\tau) = \int \frac{d\Omega}{2\pi}\,F(\Omega)\,e^{-i\Omega\tau}. \]
  • Амплитуда фурье-компоненты: \[ F(\Omega) = \int_{-\infty}^{\infty} d\tau\, f(\tau)\,e^{i\Omega\tau}. \]
  • Спектральная интенсивность: \[ S(\Omega)\propto |F(\Omega)|^2. \]

Сигнал в детекторе

Что видит ускоренный детектор?

  • Плоская волна: \(\phi(t,x)\sim e^{-i\omega_K t+iKx}\)
  • Фаза на мировой линии наблюдателя: \[ \Phi(\tau)=K x(\tau)-\omega_K t(\tau)=-\gamma\tau(\omega_K-Kv). \]
  • Мгновенная частота (\(K=-\omega_K\)): \[ -\frac{d\Phi}{d\tau} =\gamma(\omega_K-Kv)=\boxed{\omega'(\tau)=\omega_K e^{+a\tau}} \]
  • Накопленная фаза: \[ \boxed{ \varphi(\tau) = \int^\tau_{-\infty} \omega'_K(\tau')\,d\tau' = \frac{\omega_K}{a} e^{+a\tau}} \]

Что видит ускоренный детектор?

  • Итак, \[ f(\tau) = e^{i\varphi(\tau)} = e^{ i(\omega_K/a)e^{a\tau} }. \]
  • Фурье-амплитуда для частоты \(\Omega\): \[ F(\Omega) = \int_{-\infty}^{\infty} d\tau\, e^{i\Omega\tau} e^{ i(\omega_K/a)e^{a\tau} } \]
  • В результате (сейчас мы это докажем): \[ \boxed{ |F(\Omega)|^2 = \frac{2\pi}{a\Omega}\frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}-1}. } \]

Что видит ускоренный детектор?

  • Планковский спектр: \[ \boxed{ |F(\Omega)|^2 = \frac{2\pi}{a\Omega}\frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}-1}. } \]
  • Температура Унру: \[ T_U=\frac{a}{2\pi k_B} \equiv \frac{\hbar a}{2\pi k_B c} \quad (\hbar=1, \, c=1). \]
  • Точно такой же результат получится для (\(K=+\omega_K\))

Вывод формулы

  • Замена переменной в интеграле: \[ y=e^{a\tau}. \]
  • Тогда \[ \tau=\frac{1}{a}\ln y, \qquad d\tau=\frac{1}{a}\frac{dy}{y}. \]
  • Пределы: \[ \tau:-\infty\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad y:0\to\infty. \]
  • Стало быть: \[ e^{i\Omega\tau} = e^{i\Omega\frac{1}{a}\ln y} = e^{\ln y^{i\Omega/a}} = y^{i\Omega/a}. \]

  • Интеграл (\(y=e^{a\tau}\), \(d\tau=\frac{1}{a}\frac{dy}{y}\), \(e^{i\Omega\tau}=y^{i\Omega/a}\)): \[ \begin{aligned} F(\Omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} d\tau\, e^{i\Omega\tau} e^{ i(\omega_K/a)e^{a\tau} }\\ &= \frac{1}{a} \int_0^\infty dy\, y^{i\Omega/a-1} e^{i\frac{\omega_K}{a}y} \end{aligned} \]
  • Этот интеграл выражается через гамма-функцию: \[ \int_0^\infty dy\, y^{s-1}e^{-\lambda y} = \frac{\Gamma(s)}{\lambda^s}. \]

Фурье-амплитуда

  • Стало быть, \[ F(\Omega) = \frac{1}{a} \Gamma\left(i\Omega /a\right) \left(\frac{\omega_K}{a}\right)^{-i\Omega/a} e^{-\pi\Omega/(2a)}. \]
  • Квадрат модуля: \[ |F(\Omega)|^2 = \frac{1}{a^2} \left|\Gamma\left(i\Omega/a\right)\right|^2 e^{-\pi\Omega/a}. \]
  • Тождество для гамма-функции \[ |\Gamma(ix)|^2 = \frac{\pi}{x\sinh(\pi x)}. \]

Фурье-спектр сигнала

  • Используя тождество для гамма-функции, получаем \[ \boxed{ |F(\Omega)|^2 = \frac{2\pi}{\Omega a} \frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}-1}} \]

Краткое резюме

  • Главная идея первых шагов: \[ t(\tau)=\frac{1}{a}\sinh a\tau, \qquad x(\tau)=\frac{1}{a}\cosh a\tau. \]
  • Плоская волна вдоль ускоренной траектории становится сигналом \[ f(\tau) = e^{i(\omega_K/a)e^{a\tau}} \]
  • Мощность спектра сигнала: \[ \boxed{ |F(\Omega)|^2 = \frac{2\pi}{\Omega a} \frac{1}{e^{2\pi\Omega/a}-1}} \]
  • Температура Унру: \[ T_U=\frac{a}{2\pi k_B}. \]

Почему этого недостаточно?

  • Мы рассмотрели плоскую волну с определенной частотой и на массовой поверхности.
  • В квантовом поле нужно учесть все остальные моды.