Введение в квантовую статистическую механику

Матрица плотности, статистическая сумма и энтропия

Д. В. Наумов

Система единиц

Удобно использовать систему единиц, в которой \[ c=\hslash=k_B=1 \]

Введение

О чем эта лекция

При обсуждении эффекта Унру нужно уметь говорить о температуре, энтропии и тепловом спектре в КТП.
Для этого нам нужно ввести понятия матрицы плотности, статистической суммы и энтропии.
Возможно, вам это будет полезно и в других контекстах, например, при обсуждении черных дыр.

Основы термодинамики

Термодинамика описывает макроскопическое состояние системы небольшим числом величин (средняя и свободная энергия, температура, энтропия и т.д.)
Микроскопических состояний может быть много, но в равновесии нам обычно нужны не все детали, а средние величины.
Основная задача статистической физики: \[ \text{микросостояния и их вероятности} \,\Longrightarrow\, \text{термодинамические функции}. \]
В квантовой теории вероятности микросостояний удобно собирать в матрицу плотности \(\rho\)

Канонический ансамбль

Рассмотрим систему в тепловом равновесии с термостатом температуры \(T\).
Вероятность состояния с энергией \(E_i\) имеет вид \[ p_i=\frac{e^{-\beta E_i}}{Z}, \qquad \beta=\frac{1}{T}. \]
Нормировка \(\left(\sum\limits_i p_i=1\right)\) задаёт статистическую сумму: \[ \boxed{ Z=\sum_i e^{-\beta E_i} } \]

Канонический ансамбль

В квантовой форме: \[ \boxed{ \rho=\frac{e^{-\beta H}}{Z}, \qquad Z=\mathrm{Tr}\,e^{-\beta H}. } \]

Статистическая сумма как источник термодинамики

Средняя энергия: \[ \boxed{ E\equiv \langle H\rangle = -\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z. } \]
Свободная энергия Гельмгольца: \[ \boxed{ F=E-TS } \]
Через статистическую сумму: \[ \boxed{ F=-T\ln Z. } \]

Статистическая сумма как источник термодинамики

Энтропия: \[ \boxed{ S=-\frac{\partial F}{\partial T} } \]
Эквивалентно: \[ \boxed{ S=\beta E+\ln Z. } \]

Выводы формул

Каноническое распределение

Найдём распределение вероятностей \(p_i\) при условиях \[ \sum_i p_i=1, \qquad \sum_i p_i E_i = \langle E\rangle. \]
Энтропия распределения: \[ S[p]=-\sum_i p_i\ln p_i. \]
Принцип максимума энтропии: в термодинамическом равновесии \(S[p]\) максимальна при заданных макроскопических условиях.

Каноническое распределение

Введём функцию Лагранжа: \[ L=-\sum_i p_i\ln p_i-\alpha\left(\sum_i p_i-1\right) -\beta\left(\sum_i p_i E_i-\langle E\rangle\right). \]
Условие экстремума: \[ \frac{\partial L}{\partial p_i}=0. \]
Получаем: \[ -\ln p_i-1-\alpha-\beta E_i=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{p_i=C e^{-\beta E_i}} \]

Каноническое распределение

Итак, \[ \boxed{p_i=C e^{-\beta E_i}} \]
Нормировка \[ \sum_i p_i=1 \rightarrow C=\frac{1}{\sum_i e^{-\beta E_i}} \rightarrow \boxed{Z=\sum_i e^{-\beta E_i}} \]

Почему \(F=-T\ln Z\)?

Каноническая матрица плотности: \[ \rho=\frac{e^{-\beta H}}{Z}, \qquad Z=\mathrm{Tr}\,e^{-\beta H}, \qquad \beta=\frac{1}{T}. \]
Логарифм матрицы плотности: \[ \ln\rho = \ln\left(\frac{e^{-\beta H}}{Z}\right) = -\beta H-\ln Z. \]
Энтропия фон Неймана: \[ S=-\mathrm{Tr}\,\rho\ln\rho =-\sum_i p_i\ln p_i. \]

Почему \(F=-T\ln Z\)?

Подставляем \(\ln\rho=-\beta H-\ln Z\): \[ S = -\mathrm{Tr}\,\rho(-\beta H-\ln Z). \]
Получаем: \[ S=\beta\,\mathrm{Tr}(\rho H)+\ln Z\,\mathrm{Tr}\rho. \]
Так как \(E=\langle H\rangle=\mathrm{Tr}(\rho H)\) и \(\mathrm{Tr}\rho=1\), то \[ \boxed{ S=\beta E+\ln Z. } \]

Почему \(F=-T\ln Z\)?

Свободная энергия Гельмгольца: \[ F=E-TS. \]
Используем \[ S=\beta E+\ln Z, \qquad T=\frac{1}{\beta}. \]
Тогда \[ F=E-\frac{1}{\beta}(\beta E+\ln Z) =-\frac{1}{\beta}\ln Z = -T\ln Z. \]

Еще раз самое важное

Вероятность состояния: \[ \boxed{p_i = e^{-\beta E_i}/Z} \]
Статистическая сумма: \[ \boxed{Z=\sum_i e^{-\beta E_i}} \]

Средняя энергия: \[ \boxed{E\equiv \langle H\rangle =-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z. } \]
Свободная энергия Гельмгольца: \[ \boxed{ F=-T\ln Z. } \]
Энтропия: \[ \boxed{ S=\beta E+\ln Z. } \]

Квантовая статистическая механика

Матрица плотности

Чистое состояние

Чистое состояние задаётся вектором состояния \(|\psi\rangle\)
Соответствующая матрица плотности: \[ \rho = |\psi\rangle\langle \psi|. \]
Свойства: \[ \rho^2=\rho, \qquad \mathrm{Tr}\,\rho =\mathrm{Tr}\left(|\psi\rangle\langle\psi|\right) =\langle\psi|\psi\rangle=1. \]
Среднее значение оператора: \[ \langle A\rangle = \langle\psi|A|\psi\rangle = \mathrm{Tr}\left(\rho A\right). \]

Смешанное состояние

Если система находится в состояниях \(|\psi_i\rangle\) с вероятностями \(p_i\), то \[ \rho=\sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|, \qquad p_i\ge 0, \qquad \sum_i p_i=1. \]
В собственном базисе матрицы плотности: \[ \rho=\sum_i p_i |i\rangle\langle i|. \]
Среднее значение оператора: \[ \boxed{ \langle A\rangle=\mathrm{Tr}(\rho A). } \]

Энтропия

Квантовая энтропия фон Неймана

Квантовая энтропия фон Неймана: \[ \boxed{ S[\rho]=-\mathrm{Tr}\,\left(\rho\ln\rho\right) } \]
Для чистого состояния: \[ \rho=|\psi\rangle\langle\psi|, \qquad p=1, \qquad \boxed{S[\rho]=0} \]
Смешивание состояний обычно даёт ненулевую энтропию.

Джон фон Нейман (1903–1957)

Что рассматриваем дальше?

Одна бозонная мода. Для нее вычисляем:
- термальную матрицу плотности,
- энтропию.

Матрица плотности

Для одной моды поле эквивалентно гармоническому осциллятору: \[ H=\omega\left(N+\frac12\right), \qquad N=a^\dagger a. \]
Постоянная энергия \(\omega/2\) сокращается в нормированной матрице плотности, поэтому далее используем \[ H=\omega N. \]

Матрица плотности

Каноническая матрица плотности: \[ \rho = \frac{e^{-\beta\omega N}}{Z}, \qquad Z=\mathrm{Tr}\,e^{-\beta\omega N}=\sum\limits_{m=0}^{\infty}\langle m|e^{-\beta\omega N}|m\rangle. \]
\(Z\) — статистическая сумма, \(\beta=1/T\).

Матрица плотности

В базисе чисел заполнения \[ N|m\rangle=m|m\rangle, \qquad m=0,1,2,\ldots \]
Спектральное разложение в этом базисе \(N = \sum_{m=0}^{\infty} m |m\rangle\langle m|\)
Тогда, \[ Z= \sum\limits_{m=0}^{\infty}\langle m|e^{-\beta\omega N}|m\rangle = \sum_{m=0}^{\infty}e^{-\beta\omega m}= \frac{1}{1-e^{-\beta\omega}}. \]

Матрица плотности

Поэтому (с учетом \(Z=\frac{1}{1-e^{-\beta\omega}}\)) \[ \boxed{ \rho= (1-e^{-\beta\omega}) \sum_{m=0}^{\infty} e^{-\beta\omega m} |m\rangle\langle m|} \]

Матрица плотности через \(n\)

Среднее число частиц в термальной бозонной моде: \[ n \equiv \langle N\rangle = \mathrm{Tr}\left(\rho N\right)= \frac{1}{e^{\beta\omega}-1}. \]
Отсюда \[ e^{-\beta\omega} = \frac{n}{1+n}, \qquad 1-e^{-\beta\omega} = \frac{1}{1+n}. \]
Откуда \[ \boxed{ \rho = \frac{1}{1+n} \sum_{m=0}^{\infty} \left( \frac{n}{1+n} \right)^m |m\rangle\langle m| } \]

Энтропия

Квантовая энтропия состояния: \[ S[\rho]=-\mathrm{Tr}\,\rho\ln\rho . \]
Для одной термальной бозонной моды со средним числом частиц \(n\): \[ \rho_{n} =\frac{1}{1+n} \sum_{m=0}^{\infty} \left(\frac{n}{1+n}\right)^m |m\rangle\langle m|. \]
Её энтропия: \[ \boxed{s(n)=-\mathrm{Tr}\,\rho_{n}\ln\rho_{n}=(1+n)\ln(1+n)-n\ln n} \]

Энтропия вакуума

Энтропия состояния со средним числом частиц \(n\): \[ \boxed{s(n)=(1+n)\ln(1+n)-n\ln n} \]
Для вакуума (\(n=0\)): \[ n=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{s(0)=0}. \]
Вакуум — чистое состояние: \[ \rho=|0\rangle\langle 0|, \qquad S=-\mathrm{Tr}\,\rho\ln\rho=0. \]

Температура вакуума

Среднее число частиц в вакууме: \[ n = \langle 0|N|0\rangle=0. \]
Температура вакуума равна нулю: \[ T = \frac{1}{\beta} \to 0, \qquad \beta \to \infty\qquad\Longrightarrow\quad n=\frac{1}{e^{\beta\omega}-1}\to0, \]

Выводы формул

Вывод формулы для энтропии

Матрица плотности диагональна в базисе чисел заполнения: \[ \rho_n = \sum_{m=0}^{\infty} P_m |m\rangle\langle m|, \qquad P_m= \frac{1}{1+n} \left(\frac{n}{1+n}\right)^m. \]
Поэтому логарифм тоже диагонален: \[ \ln\rho_n = \sum_{m=0}^{\infty} \ln P_m\, |m\rangle\langle m|. \]

Вывод формулы для энтропии

Энтропия: \[ s(n) = -\mathrm{Tr}\,\rho_n\ln\rho_n = -\sum_{m=0}^{\infty} P_m\ln P_m. \]
Обозначим \[ r=\frac{n}{1+n}, \qquad P_m=(1-r)r^m. \]
Тогда \[ \ln P_m=\ln(1-r)+m\ln r. \]

Вывод формулы для энтропии

Подставляем: \[ s(n) = -\sum_{m=0}^{\infty}P_m \left[ \ln(1-r)+m\ln r \right]. \]
Используем нормировку и среднее число частиц: \[ \sum_{m=0}^{\infty}P_m=1, \qquad \sum_{m=0}^{\infty}mP_m=n. \]
Получаем: \[ s(n) = -\ln(1-r)-n\ln r. \]

Вывод формулы для энтропии

Так как \[ 1-r=\frac{1}{1+n}, \qquad r=\frac{n}{1+n}, \]
окончательно: \[ \boxed{ s(n) = (1+n)\ln(1+n)-n\ln n } \]

Что важно запомнить

Важные формулы

Термальная матрица плотности одной бозонной моды: \[ \rho =\frac{e^{-\beta\omega N}}{Z}, \qquad Z=\mathrm{Tr}\,e^{-\beta\omega N} =\frac{1}{1-e^{-\beta\omega}}. \]
Среднее число частиц: \[ n(\omega) = \langle N\rangle = \frac{1}{e^{\beta\omega}-1}. \]
Та же матрица плотности через \(n\): \[ \rho_n = \frac{1}{1+n} \sum_{m=0}^{\infty} \left( \frac{n}{1+n} \right)^m |m\rangle\langle m|. \]

Важные формулы

Энтропия одной термальной моды: \[ s(n) = -\mathrm{Tr}\,\rho_n\ln\rho_n = (1+n)\ln(1+n)-n\ln n. \]
Вакуум: \[ n=0, \qquad T=0, \qquad s(0)=0. \]

Что изменится для ускоренного наблюдателя?

Ускоренный наблюдатель имеет доступ не ко всем степеням свободы (лекция “Релятивистское ускорение и координаты Риндлера”).
Вакуум Минковского ему виден не весь.
Поэтому появляется энтропия и температура.