Релятивистское ускорение и координаты Риндлера

Д. В. Наумов

Система единиц

Система единиц

  • Удобно использовать систему единиц, в которой \[ c=1 \]

4-скорость

4-скорость

  • 4-координата: \[ x^\mu=(t,\mathbf{x}). \]

  • Собственное время: \[ d\tau = \frac{dt}{\gamma}, \qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}. \]

  • 4-скорость: \[ u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma(1,\mathbf{v}), \quad u^\mu u_\mu = 1. \]

4-ускорение

4-ускорение

  • Определим 4-ускорение: \[ A^\mu=\frac{d u^\mu}{d\tau}. \]
  • 4-ускорение ортогонально 4-скорости: \[ A^\mu u_\mu=0. \]
  • Вывод: \[ \frac{d}{d\tau}(u^\mu u_\mu)=2A^\mu u_\mu=0. \]

4-ускорение в лабораторной системе

  • Обозначим обычное ускорение в лабораторной системе как \[ \mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}. \]
  • Тогда \[ A^\mu = \frac{d}{dt}\left[\gamma(1,\mathbf{v})\right] = \gamma\left(\dot{\gamma},\dot{\gamma}\mathbf{v}+\gamma \mathbf{a}\right) \] где \(\dot{\gamma}=\frac{d\gamma}{dt}\).

4-ускорение в системе мгновенно сопутствующей наблюдателю

  • В системе, мгновенно сопутствующей наблюдателю, \[ v=0 \]
  • 4-ускорение в этой системе: \[ A'^\mu =\left(0,\mathbf{a}'\right), \quad \mathbf{a}' = \frac{d\mathbf{v}'}{d\tau}, \quad\dot{\gamma}(v=0)=0. \]
  • \(a'=|\mathbf{a}'|\) - собственное ускорение – это то, что измеряет акселерометр, движущийся вместе с наблюдателем.

Связь двух систем

  • 4-ускорения \(A\) и \(A'\) связаны преобразованием Лоренца: \[ A = \gamma \begin{pmatrix} \dot{\gamma}\\ \dot{\gamma}v+\gamma a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma v\\ \gamma v & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ a' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma v a'\\ \gamma a' \end{pmatrix} . \]
  • Из верхнего выражения следует, что \[ \dot{\gamma} = v a'\implies\frac{v\dot{v}}{\left(1-v^2\right)^{3/2}} = v a'\implies \boxed{a=a'\left(1-v^2\right)^{3/2}}. \]

Равномерно ускоренное движение

Равномерно ускоренное движение

  • Если собственное ускорение \(a'\) постоянно, то \[ \boxed{ v(t)=\frac{a' t}{\sqrt{1+a'^2 t^2}} } \]
  • Проинтегрировав, получаем \[ \boxed{ x(t)=\frac{1}{a'}\sqrt{1+a'^2 t^2}, \quad x(0)=\frac{1}{a'} } \]
  • Это движение по гиперболе в пространстве Минковского: \[ x^2 - t^2 = \frac{1}{a'^2} \]

Собственное время и старение

Для равномерно ускоренного наблюдателя \[ \boxed{ \tau(t)=\int_0^t \frac{dt'}{\gamma(t')} = \frac{1}{a'}\,\operatorname{arsinh}(a't) } \]

Координаты Риндлера

Определения

  • Рассматриваем правый клин Риндлера: \[ x>|t|. \]

  • В нём вводятся координаты \[ t=\xi\sinh\eta, \qquad x=\xi\cosh\eta, \qquad \xi>0. \]

  • Координата \(\xi\) нумерует гиперболические мировые линии \[ x^2-t^2=\xi^2\equiv \frac{1}{a'^2}. \]

Определения

  • Координата \(\xi\) нумерует гиперболические мировые линии \[ x^2-t^2=\xi^2\equiv \frac{1}{a'^2}. \]

  • Координата \(\eta\) нумерует лучи из начала координат \[ \frac{t}{x}=\tanh\eta. \]

Физический смысл \(\xi\) и \(\eta\)

  • Линии \[ \xi=\text{const}=\frac{1}{a'} \] — это мировые линии равномерно ускоренных наблюдателей.

  • Для наблюдателя с фиксированным \(\xi\): \[ ds^2=\xi^2 d\eta^2-d\xi^2 \quad\Longrightarrow\quad d\tau=\xi\, d\eta. \]

  • Поэтому \(\eta\) играет роль времени Риндлера, а \(\xi\) — роль координаты наблюдателя.

Физический смысл \(\xi\) и \(\eta\)

  • Собственное ускорение такого наблюдателя равно \[ a'=\frac{1}{\xi}. \]

  • В частности, ранее найденная мировая линия \[ x^2-t^2=\frac{1}{a'^2} \] это просто \[ \xi=\frac{1}{a'}. \]

Горизонт Риндлера

  • Границы клина Риндлера — это световые прямые \[ x=\pm t. \]

  • Они недостижимы для равномерно ускоренного наблюдателя и играют роль горизонта.

  • Наблюдатель с фиксированным \(\xi\) может получать сигналы только из области \[ x>|t|. \]

Координаты Риндлера и горизонт