Световые сигналы у горизонта чёрной дыры
Два свободно падающих объекта в геометрии Шварцшильда
Объединённый институт ядерных исследований
Invalid Date
Задача
Два падающих объекта и один световой сигнал
Условия
- Чёрная дыра Шварцшильда массы \(M_{\rm BH}\).
- Пробные объекты \(M\) и \(O\) падают из покоя на бесконечности.
- \(M\) идёт впереди, \(O\) повторяет ту же геодезическую с задержкой \(\Delta>0\).
- Обратным влиянием объектов на метрику пренебрегаем.
Вопрос
Если \(M\) излучает наружный радиальный сигнал в момент \(t_e\), когда объект \(O\) его поглотит?
\[ t_{\rm изл}\quad\longmapsto\quad t_{\rm погл} \]
Далее кратко: \(t_e\equiv t_{\rm изл}\) и \(t_r\equiv t_{\rm погл}\).
Что происходит с этой связью при пересечении горизонта?
Гравитационный радиус: \(\displaystyle r_g=\frac{2GM_{\rm BH}}{c^2}\).
Маршрут решения
Увидеть проблему координат Шварцшильда
Перейти ко времени Пенлеве—Гуллстранда
Найти мировые линии и нулевой луч
Связать события излучения и поглощения
\[ \text{метрика} \;\Longrightarrow\; r_M(t),\;r_O(t),\;r_\gamma(t) \;\Longrightarrow\; t_r(t_e) \]
Главное — использовать координаты, которые не ломаются на горизонте.
Координаты Шварцшильда
Метрика, горизонт и настоящая сингулярность
Для невращающейся сферически-симметричной чёрной дыры
\[ ds^2 =-\left(1-\frac{r_g}{r}\right)c^2dt_S^2 +\frac{dr^2}{1-r_g/r} +r^2d\Omega^2, \]
\[ d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2. \]
Радиус \(r\) определяет площадь сферы: \(A(r)=4\pi r^2\).
Обозначим
\[ f(r)=1-\frac{r_g}{r}. \]
Тогда
\[ ds^2=-fc^2dt_S^2+\frac{dr^2}{f} \]
для радиального движения.
При \(r=r_g\) имеем \(f=0\): коэффициенты метрики вырождаются.
Скаляр Кретчмана равен
\[ K=R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} =\frac{12r_g^2}{r^6}. \]
На горизонте
\[ K(r_g)=\frac{12}{r_g^4}<\infty. \]
Кривизна на горизонте не расходится — это первый признак координатной, а не физической особенности. Ниже мы подтвердим это, построив регулярные координаты. При \(r=0\) скаляр \(K\) расходится: там находится настоящая сингулярность.
Радиальный свет во времени Шварцшильда
Для радиального света
\[ d\Omega=0, \qquad ds^2=0. \]
Поэтому
\[ 0=-fc^2dt_S^2+\frac{dr^2}{f}. \]
Из нулевого условия
\[ \boxed{ \frac{dr}{dt_S} =\pm cf =\pm c\left(1-\frac{r_g}{r}\right) }. \]
При \(r\to r_g^+\) обе координатные скорости стремятся к нулю.
Для наружного луча
\[ c\,dt_S=\frac{dr}{1-r_g/r}, \]
откуда
\[ ct_S=r+r_g\ln\left|\frac r{r_g}-1\right|+\text{const}. \]
Логарифм расходится при \(r\to r_g\).
Падающий объект достигает горизонта лишь при
\[ t_S\to+\infty. \]
А наружному лучу, стартующему всё ближе к горизонту, требуется всё больше времени \(t_S\), чтобы дойти до фиксированного внешнего радиуса.
Это не физическая задержка: координата \(t_S\) не описывает пересечение будущего горизонта.
Падение во времени Шварцшильда
Отсчёт начинается при \(r=4r_g\). По мере приближения к горизонту координатное время \(t_S\) неограниченно возрастает.
Свободное падение
Падение из покоя на бесконечности
Пусть \(\tau\) — собственное время частицы. Для радиального движения
\[ -c^2 =-fc^2\left(\frac{dt_S}{d\tau}\right)^2 +\frac1f\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2. \]
Метрика не зависит от \(t_S\), поэтому
\[ \varepsilon=f\frac{dt_S}{d\tau}=\text{const}. \]
Покой на бесконечности даёт
\[ \boxed{\varepsilon=1}, \qquad \frac{dt_S}{d\tau}=\frac1f. \]
Подстановка в нормировку приводит к
\[ \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 =c^2(1-f) =c^2\frac{r_g}{r}. \]
Для падающей частицы
\[ \boxed{ \frac{dr}{d\tau}=-c\sqrt{\frac{r_g}{r}} }. \]
Формально результат совпадает с падением из покоя на бесконечности:
\[ \frac{v^2}{2}-\frac{GM_{\rm BH}}r=0 \quad\Longrightarrow\quad v=-\sqrt{\frac{2GM_{\rm BH}}r}. \]
Но в ОТО слева стоит \(dr/d\tau\), а не скорость в абсолютном ньютоновском времени.
Что показывает время Шварцшильда
\[ \frac{dr}{dt_S} =\frac{dr/d\tau}{dt_S/d\tau} =-cf\sqrt{\frac{r_g}{r}}. \]
При \(r\to r_g^+\) она стремится к нулю, хотя собственное время до горизонта конечно.
Введём
\[ q=\sqrt{\frac r{r_g}}. \]
Тогда вдоль падающей геодезической
\[ \frac{ct_S}{r_g} =-\frac23q^3-2q -\ln\left|\frac{q-1}{q+1}\right| +\text{const}. \]
При \(q\to1^+\) логарифм даёт
\[ t_S\to+\infty. \]
Для изучения пересечения горизонта нужна регулярная временная координата.
Координаты Пенлеве—Гуллстранда
Строим регулярное время
Сохраним радиус \(r\), определяющий площадь сферы, и положим
\[ dt_S=dt-A(r)\,dr. \]
После подстановки
\[ ds^2=-fc^2dt^2+2fc^2A\,dt\,dr +\left(\frac1f-fc^2A^2\right)dr^2. \]
Потребуем, чтобы коэффициент при \(dr^2\) был равен единице:
\[ \frac1f-fc^2A^2=1. \]
Для координат, регулярных на будущем горизонте,
\[ A(r)=\frac1c\frac{\sqrt{r_g/r}}{1-r_g/r}. \]
Получаем
\[ \boxed{ dt=dt_S+\frac1c\frac{\sqrt{r_g/r}}{1-r_g/r}\,dr }. \]
В интегральной форме
\[ ct=ct_S+2\sqrt{rr_g} +r_g\ln\left|\frac{\sqrt r-\sqrt{r_g}}{\sqrt r+\sqrt{r_g}}\right| +\text{const}. \]
Логарифмические расходимости компенсируются, и
\[ \boxed{ ds^2=-c^2dt^2 +\left(dr+c\sqrt{\frac{r_g}{r}}\,dt\right)^2 +r^2d\Omega^2 }. \]
Все коэффициенты конечны при \(r=r_g\).
Почему это время удобно именно здесь
Вдоль свободного падения
\[ \frac{dt}{d\tau} =\frac{dt_S}{d\tau} +\frac1c\frac{\sqrt{r_g/r}}f\frac{dr}{d\tau}. \]
Используем
\[ \frac{dt_S}{d\tau}=\frac1f, \qquad \frac{dr}{d\tau}=-c\sqrt{\frac{r_g}{r}}. \]
Тогда
\[ \frac{dt}{d\tau} =\frac1f-\frac{r_g/r}{f}=1. \]
Для этой семьи наблюдателей
\[ \boxed{dt=d\tau}. \]
Вдоль каждой такой геодезической приращение времени Пенлеве—Гуллстранда совпадает с приращением собственного времени. Начала их отсчёта могут различаться.
Поэтому
\[ \boxed{ \frac{dr}{dt}=-c\sqrt{\frac{r_g}{r}} }. \]
Теперь одна координата времени описывает движение и снаружи, и внутри горизонта.
Мировые линии и свет
Два объекта с временным сдвигом
Из
\[ \frac{dr}{dt}=-c\sqrt{\frac{r_g}{r}} \]
следует
\[ r^{1/2}dr=-c\sqrt{r_g}\,dt, \]
\[ \frac23r^{3/2}=-c\sqrt{r_g}\,t+C. \]
Выберем \(t=0\) в момент пересечения горизонта объектом \(M\):
\[ \boxed{ r_M(t)=r_g\left(1-\frac{3ct}{2r_g}\right)^{2/3} }. \]
Он достигает \(r=0\) при \(t=2r_g/(3c)\). Формула описывает физическую мировую линию только до этого момента.
Второй объект повторяет ту же геодезическую с задержкой \(\Delta\):
\[ \boxed{ r_O(t)=r_g\left(1-\frac{3c(t-\Delta)}{2r_g}\right)^{2/3} }. \]
Следовательно, \(r_O(\Delta)=r_g\). Мировая линия заканчивается при \(t=\Delta+2r_g/(3c)\).
Обе мировые линии имеют одну форму:
\[ r_O(t)=r_M(t-\Delta). \]
\(M\) пересекает горизонт при \(t=0\), а \(O\) — при \(t=\Delta\).
Радиальные нулевые геодезические
Из метрики Пенлеве—Гуллстранда
\[ 0=-c^2dt^2 +\left(dr+c\sqrt{\frac{r_g}{r}}\,dt\right)^2. \]
Значит,
\[ \frac{dr}{dt}+c\sqrt{\frac{r_g}{r}}=\pm c. \]
\[ \boxed{ \frac{dr_\gamma}{dt} =c\left(1-\sqrt{\frac{r_g}{r_\gamma}}\right) } \quad\text{наружный луч}, \]
\[ \boxed{ \frac{dr_\gamma}{dt} =-c\left(1+\sqrt{\frac{r_g}{r_\gamma}}\right) } \quad\text{внутренний луч}. \]
Для сигнала от внутреннего \(M\) к внешнему \(O\) нужна наружная ветвь:
\[ \frac{dr_\gamma}{dt} \begin{cases} >0, & r>r_g,\\ =0, & r=r_g,\\ <0, & r<r_g. \end{cases} \]
Свет локально по-прежнему движется со скоростью \(c\).
Но \(dr/dt\) — скорость изменения радиуса сфер симметрии. Внутри горизонта даже наружная граница будущего светового конуса ведёт к меньшим \(r\).
Наружный луч, излучённый снаружи, остаётся снаружи; излучённый внутри — остаётся внутри. Луч, излучённый точно на горизонте, остаётся на нём и разделяет эти два случая.
Как сигнал догоняет второй объект
Переключите три момента излучения. Левая панель показывает радиальные положения «сейчас», правая — полные мировые линии и тот же световой луч.
Результат до вычислений
Время поглощения: разрыва нет
Время измеряется в единицах \(r_g/c\); \(\delta=c\Delta/r_g=0.5\) — безразмерная задержка между объектами. Кривая построена по точному уравнению, которое мы сейчас выведем.
Как читать этот график
Сигнал излучён снаружи и поглощён до пересечения горизонта объектом \(O\).
Сигнал идёт по горизонту и поглощается при \(t_r=\Delta\).
Пока поглощение возможно, оно происходит уже внутри горизонта.
Синяя и оранжевая ветви сходятся в одной точке: при переходе через горизонт скачка времени поглощения нет.
Это не выход света наружу
Что здесь происходит
Объект \(O\) тоже падает в чёрную дыру. После горизонта он всё ещё может пересечь наружный световой луч, излучённый объектом \(M\).
Чего здесь не происходит
Свет изнутри не выходит к далёкому внешнему наблюдателю. И объект, и сигнал внутри горизонта движутся к меньшим \(r\).
Точное решение
Интегрируем наружный световой луч
Введём
\[ q=\sqrt{\frac r{r_g}}, \qquad r=r_gq^2, \qquad dr=2r_gq\,dq. \]
Для наружного луча
\[ \frac{dr}{dt}=c\frac{q-1}{q}. \]
\[ c\,dt =\frac{q}{q-1}\,dr =\frac{2r_gq^2}{q-1}\,dq. \]
Используем
\[ \frac{q^2}{q-1}=q+1+\frac1{q-1}. \]
\[ ct =r_g\left[q^2+2q+2\ln|q-1|\right] +\text{const}. \]
Определим
\[ F(q)=q^2+2q+2\ln|q-1|. \]
Вдоль каждой наружной радиальной нулевой геодезической
\[ \boxed{ct-r_gF(q)=\text{const}}. \]
Уравнение применимо отдельно снаружи (\(q>1\)) и внутри (\(0<q<1\)). При \(q=1\) функция \(F\) расходится, поэтому луч на горизонте нужно рассмотреть отдельно.
От излучения к поглощению
При излучении и поглощении
\[ q_e=\sqrt{\frac{r_M(t_e)}{r_g}}, \qquad q_r=\sqrt{\frac{r_O(t_r)}{r_g}}. \]
Оба события лежат на одном световом луче, поэтому постоянная одинакова:
\[ ct_r-r_gF(q_r) =ct_e-r_gF(q_e). \]
Следовательно,
\[ \boxed{ \frac{c(t_r-t_e)}{r_g} =F(q_r)-F(q_e) }. \]
Осталось выразить \(q_e\) и \(q_r\) через мировые линии объектов.
Точная карта \(t_e\mapsto t_r\)
Введём
\[ \tau=\frac{ct}{r_g}, \qquad \delta=\frac{c\Delta}{r_g}. \]
На мировых линиях
\[ \tau_e=\frac23(1-q_e^3), \qquad \tau_r=\delta+\frac23(1-q_r^3). \]
Уравнение луча становится
\[ \delta+\frac23(q_e^3-q_r^3) =F(q_r)-F(q_e). \]
Перегруппируем члены, зависящие от \(q_e\) и \(q_r\).
Определим
\[ H(q)=\frac23q^3+F(q) =\frac23q^3+q^2+2q+2\ln|q-1|. \]
Тогда
\[ \boxed{H(q_r)-H(q_e)=\delta}. \]
Для заданного \(t_e\):
- вычислить \(q_e\) по мировой линии \(M\);
- решить \(H(q_r)=H(q_e)+\delta\);
- найти \(\displaystyle \tau_r=\delta+\frac23(1-q_r^3)\).
\[ H'(q)=\frac{2q^3}{q-1}. \]
\(H\) возрастает при \(q>1\) и убывает при \(0<q<1\).
Снаружи \(q_r>q_e>1\), а внутри \(0<q_r<q_e<1\). На каждой ветви решение единственно, пока объект \(O\) не достиг сингулярности.
Точка \(q_e=q_r=1\) в это уравнение не подставляется: её мы рассматриваем отдельно.
Горизонт
Сигнал, излучённый непосредственно на горизонте
Пусть
\[ t_e=0. \]
По выбору начала времени
\[ r_M(0)=r_g. \]
На горизонте наружная ветвь даёт
\[ \left.\frac{dr_\gamma}{dt}\right|_{r=r_g} =c(1-1)=0. \]
Поэтому
\[ \boxed{r_\gamma(t)=r_g} \]
— точное решение нулевого уравнения: радиус луча не меняется, поэтому луч всё время остаётся на горизонте.
Сам горизонт образован такими световыми лучами. В ОТО их называют нулевыми образующими, или генераторами горизонта.
Сигнал встречает \(O\), когда
\[ r_O(t_r)=r_g. \]
Но по определению задержки \(r_O(\Delta)=r_g\). Следовательно,
\[ \boxed{t_e=0\quad\Longrightarrow\quad t_r=\Delta}. \]
Непрерывность в окрестности горизонта
Положим
\[ q=1+s, \qquad |s|\ll1. \]
Тогда
\[ H(1+s)=2\ln|s|+\frac{11}{3}+O(s). \]
Из \(H(q_r)-H(q_e)=\delta\) следует
\[ 2\ln\left|\frac{s_r}{s_e}\right|\simeq\delta, \]
\[ \boxed{\frac{|s_r|}{|s_e|}\simeq e^{\delta/2}}. \]
Для падающей частицы
\[ \tau=\frac23(1-q^3) =-2s+O(s^2). \]
Поэтому
\[ \tau_e\simeq-2s_e, \qquad \tau_r-\delta\simeq-2s_r. \]
На каждой стороне горизонта знаки \(s_e\) и \(s_r\) совпадают:
\[ \boxed{ \tau_r-\delta\simeq e^{\delta/2}\tau_e }. \]
Значит, \(\tau_e\to0^\pm\) влечёт \(\tau_r\to\delta^\pm\): разрыва нет.
Картина целиком
Мировые линии и три световых сигнала
\(\delta=0.5\). Сигнал при \(\tau_e=0\) лежит на \(\rho=1\); сигналы до и после горизонта встречают ту же запаздывающую мировую линию \(O\).
Граница обмена сигналами
Объект \(O\) достигает \(r=0\) при
\[ \tau_r^{\rm sing}=\delta+\frac23. \]
После этого события поглощать сигнал уже некому.
Для последовательности всё более поздних поглощённых сигналов
\[ q_r\to0^+. \]
Сам предел лежит уже при \(r=0\) и не является обычным событием поглощения.
Поскольку \(H(0)=0\), точное уравнение даёт
\[ H(q_e^*)=-\delta. \]
\[ q_e^*\simeq0.7694707, \]
\[ \tau_e^*=\frac23(1-q_e^{*3})\simeq0.3629385, \]
\[ \tau_r\uparrow0.5+\frac23\simeq1.1666667. \]
Горизонт сам по себе не создаёт разрыва в обмене сигналами.
Ограничение появляется позже: обе времеподобные мировые линии заканчиваются на физической сингулярности \(r=0\).
Итог
Что мы получили
передний объект
запаздывающий объект
наружный световой луч
точная карта событий
\[ \boxed{t_e=0\quad\Longrightarrow\quad t_r=\Delta} \]
Сигналы, излучённые чуть раньше горизонта, поглощаются чуть раньше; излучённые чуть позже — чуть позже. Временного разрыва на горизонте нет.
Литература
Основные источники
P. Painlevé, La mécanique classique et la théorie de la relativité, C. R. Acad. Sci. (Paris) 173, 677–680 (1921).
A. Gullstrand, Allgemeine Lösung des statischen Einkörperproblems in der Einsteinschen Gravitationstheorie, Arkiv. Mat. Astron. Fys. 16 (8), 1–15 (1922).
K. Martel, E. Poisson, Regular coordinate systems for Schwarzschild and other spherical spacetimes, American Journal of Physics 69, 476–480 (2001), arXiv:gr-qc/0001069.
